Integral dan Turunan Aljabar Vektor - Makalah

INTEGRAL DAN TURUNAN ALJABAR  VEKTOR

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Kalkulus II

Oleh:

DEDE RENI MARLINA

NIM : 1209207015

PENDIDIKAN FISIKA/2/A

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2010

 KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmaanirrahim

Puji dan syukur kita selalu panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan sebuah karya sederhana ini. Shalawat serta salam semoga selamanya tercurah limpahkan kepada Nabi panutan umat Muhammad SAW yang selalu menuntun kita ke jalan yang diridhai oleh Allah SWT.

Ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian makalah ini. Penulis mohon maaf apabila dalam makalah ini terdapat banyak kekurangan, kekeliruan dan kesalahan, karena makalah yang penulis buat ini jauh dari kesempurnaan,dan kesempurnaan hanyalah milik-Nya.

Akhir kata penulis memohon kritik dan saran untuk perbaikan makalah ini kedepannya,dan semoga makalah ini bermanfaat.

                                                                        Bandung,Juni 2010

                                                                                    Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar.................................................................................................................. 1

Daftar Isi........................................................................................................................... 2

BAB I PENDAHULUAN............................................................................................... 3

BAB II PEMBAHASAN................................................................................................. 5

1.                  Integral dan Fungsi bernilai vektor....................................................................... 5

2.                  Limit dan  turunan fungsi bernilai vektor.............................................................. 6

3.                  Aljabar Turunan dan Aturan Rantai...................................................................... 7

4.                  Aturan Rantai........................................................................................................ 7

5.                  Aljabar Vektor....................................................................................................... 8

6.                  Operasi vektor Biasa                                                                                   ........... 9

7.                  Aljabar Vektor Dinyatakan Dalam Vektor Satuan ,  , dan ......................... 10

8.                  Aljabar Vektor Dinyatakan Sebagai Pasangan Tiga Bilangan.............................. 10

9.                  Aljabar Vektor Dalam Fisika................................................................................. 13

BAB III PENUTUP......................................................................................................... 16

Daftar Referensi................................................................................................................ 17

BAB I

PENDAHULUAN

Bagaimanapun juga Fisika dan Matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Fisika membutuhkan metematika untuk menghitung berbagi permasalahan yang terjadi baik dalam kehidupan maupun dalam hal yang lainnya. Begitupun juga dengan aljabar yang diperlukan terutama dalam makalah ini dikhususkan untuk menghitung vektor kecepatan maupun yang lainnya yang akan dibahas secara mendetail dalam pembahasan.

Beberapa besaran fisis tertentu disamping mempunyai besar juga mempunyai arah. Untuk menyatakan besaran fisis tersebut, disamping menyatakan nilainya, kita juga harus menyatakan arahnya. Besaran fisis seperti ini dikatakan bersifat vektor. Secara umum vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Sebagai contoh kecepatan gerak suatu benda.

Aljabar vektor yaitu suatu sistem (kumpulan vektor). Didalamya akan didefinisikan kesamaan dua buah vektor, perkalian vektor dengan skalar, dan lain-lain. Dengan konsep (faham) vektor kita maksudkan vektor pada umumnya, yaitu meliputi vektor gaya,kecepatan,kuat medan, dan lain-lain yang kita lukiskan sebagai anak panah serta notasi khusus yang digunakan.

Lebih dahulu tentang panjang vektor: panjang suatu vektor , ditulis  adalah bilangan skalar yang menyatakan panjang anak panah. Vektor yang panjangnya satu satuan kita nyatakan dengan hurup . Vektor yang panjangnya nol kita namai vektor nol dan kita nyatakan dengan . Jadi berlaku hubungan:

 =

Pembicaraan tentang vektor selanjutnya kita batasi hanya pada vektor yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang garis sejajar dengan arah dan besar yang tetap, seperti vektor kuat medan magnet homogen dan vektor kecepatan arus

Aljabar merupakan hal yang sangat penting bagi matematika dan fisika, terutama menyangkut vektor. Pada dasarnya vektor merupakan sebuah besaran yang digunakan untuk menyatakan besaran tertentu pada berbagai permasalahan yang ada. Untuk itulah penulis mengambil tema tentang ini karena pengetahuan tentang vektor perlu diketahui, tidak hanya sebatas mengetahui tapi juga harus memahami.

BAB II

PEMBAHASAN

1.      Integral dan Fungsi bernilai vektor

Misalkan D suatu himpunan di Rⁿ . fungsi f bernilai vektor di R^m dengan daerah definisi D adalah aturan pengaitan setiap elemen x di D dengan satu dan hanya satu vektor y di R^m dan ditulis sebagai:

y=f(x)

bentuk ini disebut fungsi atau rumus fungsi. Sebagai contoh, fungsi dua variabel dengan nilainya vektor di R³ adalah

y=f(x) =  =  =

karena vektor di R^m juga ditulis dalam bentuk (y₁,,,,,,,y_m) maka fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk

y =(y₁,y₂,y₃) = (f₁(x₁,x₂),f₂(x₁,x₂),f₃(x₁,x₂)

=(x₁²+x₁x₂, sin(x₁x₂) )

Ataupun seringkali ditulis dalam persamaan:

y₁=f₁(x₁,x₂)=x₁²+x₁x₂

y₂=f₂(x₁,x₂)=sin(x₁x₂)

y₃=f₃(x₁,x₂)=

Fungsi f₁,f₂,dan f₃ disebut fungsi komponen dari f. Misalkan diketahui f dari Rⁿ ke R^m. Daerah definisi fungsi f adalah daerah terbesar di Rⁿ sehingga m fungsi komponen tersebut mempunyai arti , umumnya merupakan irisan daerah definisi m fungsi komponennya sebagai contoh, daerah definisi fungsi:

f( (x₁,x₂)=( ,

dapat ditentukan sebagai berikut. Untuk fungsi komponen pertama, daerah definisinya adalah

Df₁  = {(  ={(

Sedangkan unntuk fungsi komponen kedua adalah

Df₂ = {(

Jadi, daerah definisi fungsi f adalah irisan kedua himpunan yaitu:

Df ={(

Karena integral tak tentu dapat dipandang sebagai kebalikan proses penurunan maka integral fungsi vektor dapat kita lakukan per komponen seperti turunan fungsi. Hal ini diberikan dalam definisi sebagai berikut:

Diketehui fungsi kontinu f(t)=( f₁(t),f₂(t),f₃(t)), integral f adalah

Misalkan:diketahui fungsi f(t) = (sin t,2t-3), sehingga integral fungsi ini adalah:

=(-cos t +C¹,t²+C²,t²-3t +C³)

2.      Limit dan Turunan Fungsi Bernilai vektor

Misalkan I interval terbuka pada R,t₀  dan fungsi f: I  R³. Limit fungsi f di t₀ ditulis

 = (L1,L2,L3)

Didefinisikan sebagai berikut

Untuk setiap  ada bilangan  sehingga

Untuk semua t di daerah definisi fungsi f dan memenuhi 0< .

Aljabar turunan fungsi bernilai vektor mempunyai aturan serupa dengan fungsi skalar biasa ditambah dengan aturan untuk hasil perkalian titik atau perkalian skalar. Semua aturan ini merupakan akibat dari aljabar limit.

Aljabar turunan:

Misalkan f dan g dua fungsi vektor dengan nilainya di R³ yang dapat diturunkan maka:

1.      (f + g)’(t)= f’(t) + g’(t)

2.      (cf)’(t)=cf’(t)

3.      (f.g)’t=f’(t).g(t)+f(t).g’(t)

4.      (fₓg)’(t)=f’(t).g(t)+f(t).g’(t); rumus ini hanya berlaku jika kedua fungsi mempunyai nilai di R³.

 Misalkan f(t) = (cos 2t, sin 2t, t²) dan g(t)= t,t²,t³)

Kemudian fungsi (f.g)(t)= t cos2t+t²sin2t+t⁵ dapat dicari turunannya dengan cara

F’(t).g(t)+f(t).g’(t) = (-2 sin 2t)(t) +(2 cos2t)t²+(2t)t³

                               +(cos 2t)(1) + (sin 2t)(2t)+(t²)3t²

                               =cos 2t- 2t sin 2t+2t sin2t+2t² cos 2t+5t⁴

3.      Aljabar Turunan dan Aturan Rantai

Aljabar Turunan:

Misalkan fungsi dua variabel f,g mempunyai turunan di titik (a,b). Kemudian fungsi

i.                    h=f+g juga mempunyai turunan dan

dh(a,b) =df(a,b) +dg(a,b) operasi jumlah matriks

ii.                  h=fg mempunyai turunan dan

dh(a,b)=f(a,b)dg(a,b)+g(a,b)df(a,b) operasi pada matriks

iii.                jika g(a,b) 0, fungsi h=  mempunyai turunan dan

dh(a,b) =  operasi pada matriks

Bukti teorema ini sama dengan fungsi satu variabel, hanya saja notasi turunan fungsi satu variabel diganti dengan:

4.      Aturan Rantai

Aturan rantai yang akan dipelajari disini adalah aturan rantai yang khusus, dalam arti bahwa syarat berlakunya teorema ini memerlukan syarat yang lebih banyak, yaitu syarat kekontinuan fungsi turunannya.

Kita telah mempelajari fungsi bernilai vektor g: I  R R² yang nilainya di t dapat ditulis g (t) = (x(t),y(t)). Jika fungsi ini dikomposisikan dengan fungsi dua variabel akan diperoleh fungsi satu variabel bernilai real. Aturan mencari turunan fungsi komposisi ini diberikan di teorema berikut.

Aturan Rantai khusus:

            Misalkan g: I  R R²  fungsi satu variabel yang mempunyai turunan di t₀ f:U  R² R fungsi dua variabel yang mempunyai turunan parsial kontinu di g(t₀) = (a,b). Kemudian fungsi

h= f o g: I  R  R mempunyai turunan di t₀ dan

h’(t₀) = f’[g(t0)]g’(t₀)

            =df(a,b)(g’(t₀))

            =    +  

Dengan g’(t₀)=

           

5.      Aljabar Vektor Biasa

Aljabar vektor yaitu suatu sistem (kumpulan vektor). Didalamya akan didefinisikan kesamaan dua buah vektor, perkalian vektor dengan skalar, dan lain-lain. Dengan konsep (faham) vektor kita maksudkan vektor pada umumnya, yaitu meliputi vektor gaya,kecepatan,kuat medan, dan lain-lain yang kita lukiskan sebagai anak panah serta notasi khusus yang digunakan.

Lebih dahulu tentang panjang vektor: panjang suatu vektor , ditulis  adalah bilangan skalar yang menyatakan panjang anak panah. Vektor yang panjangnya satu satuan kita nyatakan dengan hurup . Vektor yang panjangnya nol kita namai vektor nol dan kita nyatakan dengan . Jadi berlaku hubungan:

 =

Pembicaraan tentang vektor selanjutnya kita batasi hanya pada vektor yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang garis sejajar dengan arah dan besar yang tetap, seperti vektor kuat medan magnet homogen dan vektor kecepatan arus sungai (hipotesis). Karena itu kita rumuskan kesamaan vektor sebagai berikut:

Dua vektor dan  dikatakan sama jika keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.

 

                                                                                                       

Berdasarkan definisi kesamaan ini, maka suatu vektor dapat dipindah-pindahkan sepanjang garis yang sejajar, asalkan arah dan besarnya tetap.(lihat gambar.

6.      Operasi Vektor

1.    Jumlah dua vektor  dan  ialah suatu vektor  yang dilukiskan diagonal jajaran genjang yang sisinya  dan , kita tulis  =  + . Dengan mudah definisi itu dapat diperluas untuk jumlah lebih dari dua vektor, misalnya, = +  +  +

2.    Selisih dua vektor: selisih dua vektor  dan  dapat ditulis sebagai - , definisi  + ( ).

3.    Perkalian vektor  dengan bilangan skalar  :  ialah suatu vektor yang panjangnya  kali panjang vektor  dan searah dengan , jika >0, dan berlawanan arah dengan , jika <0.

4.    Perkalian skalar dua vektor  dan  ditulis . , definisi . cos    adalah sudut antara  dan  .

7.      Vektor Dinyatakan Dalam Vektor Satuan ,  , dan

Jika pada suatu sistem koordinat ortogonal kita letakan masing-masing vektor satuan  , , dan    , masing-masing pada sumbu x,y, dan z menurut arah positif, maka sistem koordinat yang terjadi dinamai sistem koordinat dekstral. Untuk selanjutnya, dengan vektor yang berpangkal dititik 0 daripada sistem dekstral tersebut. Misalkan  suatu vektor (pangkal di 0), yang koordinat titik ujungnya (a₁,a₂,a₃). Maka terhadap terhadap koordinat sistem dekstral tersebut, vektor  dapat dituliskan sebagai:

 = a₁ + a₂  + a₃

 =  =  =1,  =

8.    Vektor Dinyatakan Sebagai Pasangan Tiga Bilangan

Agar penulisannya menjadi lebih singkat, maka perlu mengadakan notasi baru: vektor

= a₁  +a₂  +a₃  kita tuliskan (beri notasi) (a₁,a₂,a₃). Dengan notasi baru ini, maka semua definisi kesamaan operasi pada vektor dapat dituliskan sebagai berikut: jika  =(a₁,a₂,a₃) dan  = (b₁,b₂,b₃), maka :

1.      Kesamaan dua vektor:

= , jika a₁=b₁, a₂=b₂, a₃=b₃

2.      Jumlah dua vektor:

 +  = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

3.      Selisih dua vektor:

 -  = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)

4.      Perkalian dengan Skalar:

   = a₁, a₂, a₃)

5.      Perkalian skalar:

   = a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rⁿ dalam setiap y₁,y₂,....,y_n adalah nilai yang terukur.

Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x₁,x₂,...,x₁5) dalam setiap x₁ adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x₂ adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.

Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R⁴ dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR³. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v₁,v₂,v₃,v₄) dalam R⁴ ke vector keluaran w = (w₁,w₂,w₃) dalamR³.

Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.

Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s₁,s₂,s₃,...,s₁0) dalam setiap angka s₁,s₂,...,s₁0 adalah output dari sektor individual.

Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx₁,x₂,...,x₆ dan kecepatan mereka adalah v₁,v₂,...,v₆. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

V = (x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,t) Dalam R¹3. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rⁿ

jika u = (u₁,u₂,u₃,...,u_n)

Maka Panjang vektor u dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v:

9.      Vektor Dalam Fisika

Jika dari suatu titik A tertentu kita berpindah tempat, maka kedudukan kita yang baru B ditentukan oleh dua hal, yaitu berapa jauh dan ke arah mana kita berpindah dari titik A tadi. Untuk memudahkan persoalan, kedua hal itu dapat dilukiskan dengan anak panah yang berpangkal A.

              Panjang anak panah menunjukan jarak (besarnya) perpindahan , sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan itu. Anak panah yang melukiskan perpindahan, dinamai vektor perpindahan disingkat vektor, dan dinyatakan dengan hurup memakai anak panah, misalnya,  atau .  menyatakan vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B. Jika sesudah perpindahan tadi ( ) kita melakukan perpindahan sekali lagi yang arah dan jaraknya dinyatakan oleh suatu vektor  , maka tempat kedudukankita yang baru  C sebagai hasil perpindahan.  dan , ditunjukan oleh vektor ketiga  yang pangkalnya A dan ujungnya C.

Aturan untuk memperoleh   seperti ini kita namai aturan segitiga. Kita katakan vektor  adalah jumlah .  dan  dan kita tulis = +  . jadi dapat dikatkan bahwa pengaruh dua vektor  dan  dapat diganti (ekuivalen) dengan hanya satu vektor  yang berpangkal A dan berujung C. Vektor  dan  masing-masing dinamai komponen  atau dikatakan  memiliki komponen  dan . Pada lukisan vektor kiranya jelas, bahwa kita akan memperoleh vektor   yang sama, jika mula-mula kita berpindah dengan  dan kemudian dengan vektor  , sehingga dapat ditulis    +  =  +  .

Untuk mencapai titik C itu dapat pula kita berpindah dengan vektor lain, misalnya dengan   dari titik A, dan kemudian dengan vektor  yang berujung C. Ini berarti, bahwa suatu vektor   dapat dibentuk oleh pasangan komponen (vektor) lain. Secara umum kita katakan, bahwa suatu vektor dapat kita pandang sebagai jumlah n vektor (n=2,3,....), dimana (n=1) vektor dapat kita ambil sebarang.

Jika kita melakukan perpindahan tiga kali lebih besar daripada perpindahan semula  , dan searah dengan   maka perpindahan itu kita nyatakan dengan vektor   . jika perpindahan itu dilakukan dengan arah berlainan, maka perpindahan kita nyatakan dengan vektor - .

Peristiwa perpindahan berturut-turut yang dilukiskan oleh vektor   dan   pada contoh diatas, jelas situasinya tidak berubah. Sekiranya vektor   dan   itu tidak bekerja berturut-turut, melainkan bekerja serentak (bersama-sama) seperti dalam contoh berikut:

Diatas permukaan sebuah sungai yang kecepatan dan arah arusnya dinyatakan dengan vektor  , bergerak sepotong kayu (terapung) yang kecepatan dan arahnya dinyatakan dengan  . Maka tempat yang dicapai oleh potongan kayu tersebut pada saat tertentu dinyatakan dengan vektor   =   +   yang serupa dengan contoh diatas (aturan jajaran genjang).

Beberapa besaran lain dalam fisika, seperti gaya, momentum, kecepatan, dan kuat medan yang ternyata dapat diperlakukan dan diselesaikan dengan cara menggunakan vektor yang serupa dengan contoh diatas. Misalkan pada suatu titik bekerja dua buah gaya yang bekerja serentak, yang masing-masing dinyatakan dengan vektor a dan b. Maka akibat kedua vektor itu ditunjukan oleh suatu vektor yang dilukiskan dengan diagonal jajaran genjang dan   dan   sebagai sisinya (aturan jajaran genjang).

Besaran dalam fisika yang sekaligus mempunyai besar dan arah seperti gaya, kecepatan, dan momentum itu dinamai besaran vektor. Semuanya mempunyai kesamaan sifat (karakteristik), yaitu mempunyai representasi sebagai vektor.

BAB III

PENUTUP

Kadang suatu persoalan tidak bisa dijelaskan hanya dengan satu cabang ilmu saja melainkan harus dilihat dari berbagai sudut pandang keilmuan. Aljabar vektor sangat penting berkaitan demgan permasalahan yang dihadapi dalam fisika.

Aljabar vektor yaitu suatu sistem (kumpulan vektor). Didalamya akan didefinisikan kesamaan dua buah vektor, perkalian vektor dengan skalar, dan lain-lain. Dengan konsep (faham) vektor kita maksudkan vektor pada umumnya, yaitu meliputi vektor gaya,kecepatan,kuat medan, dan lain-lain yang kita lukiskan sebagai anak panah serta notasi khusus yang digunakan.

Aljabar vektor dapat di Integralkan yang memiliki persamaan , fungsi dua variabel dengan nilainya vektor di R³ adalah:

y=f(x) =  =  =

dan mempunyai turunan:

Misalkan f dan g dua fungsi vektor dengan nilainya di R³ yang dapat diturunkan maka:

1.      (f + g)’(t)= f’(t) + g’(t)

2.      (cf)’(t)=cf’(t)

3.      (f.g)’t=f’(t).g(t)+f(t).g’(t)

4.      (fₓg)’(t)=f’(t).g(t)+f(t).g’(t); rumus ini hanya berlaku jika kedua fungsi mempunyai nilai di R³.

DAFTAR REFERENSI

http://www.wilkipedia.org

http://www.bataviase.co.id

Syah, Muhibbin .2003.Psikologi Pendidikan dengan Pendekatan Baru (Edisi Revisi).Bandung: PT Remaja Rosdakarya

Uno, Hamzah B.2009.Profesi Kependidikan.Jakarta: Bumi Aksara