I. PENDAHULUAN
1.1
Studi
Mengenai Bumi sebagai Suatu Sistem
Asal-usul bumi
o
Studi mengenai asal-usul bumi lebih dikaitkan
dengan posisinya sebagai benda langit dan proses terbentuknya alam semesta yang
dipelajari dalam kosmologi/astronomi.
o
Bumi terbentuk pada 5 milyar (5 x 109)
tahun yang lalu dari proses pendinginan dan pemadatan material kosmik. Material
berdensitas tinggi terutama besi (Fe) terkonsentrasi di pusat bumi dan
membentuk inti bumi. Senyawa Silika (Si) dan Oksigen (O2) yang jauh
lebih ringan terakumulasi di permukaan membentuk litosfer, hidrosfer dan
atmosfer bumi.
Fenomena bumi
o
Kenampakan fisik permukaan bumi (distribusi
benua dan lautan serta relief permukaan bumi),
o
Struktur internal bumi (distribusi sifat atau
parameter fisika dan kimia, termasuk temperatur dan tekanan),
o
Medan medan
o
Aspek hidrosfer dan atmosfer,
Æ dapat
dijelaskan melalui teori mengenai proses terbentuknya bumi.
Interaksi antara geosfer,
atmosfer, hidrosfer, biosfer, dan antrosfer
Geosfer adalah bagian padat dari
bumi yang meliputi kerak bumi (continental and eceanic crust) serta
bagian dalam bumi lainnya (struktur internal, terutama mantel).
Contoh interaksi antara geosfer
dengan
o
Atmosfer :
Aktivitas volkanik
menghamburkan sejumlah gas (uap air, karbon dioksida, sulfur dioksida,
hidrogen, hidrogen sulfida, dan lain-lain) ke atmosfer dan dapat menimbulkan
perubahan cuaca/iklim. Proses tektonik terutama pembentukan bantuan karbonat (
di samping proses biologis dan pelarutan gas CO2 oleh laut) ikut
menjaga kesetimbangan gas karbon dioksida di atmosfer.
o
Hidrosfer ;
Air dalam siklus
hidrologi (yang juga melibatkan atmosfer) merupakan penyebab terjadinya proses
erosi secara mekanik dan kimia. Air yang mengalir di permukaan batuan secara
mekanik menggerus batuan dan secara kimia melarutkan senyawa-senyawa
pembentuknya. Air pula yang mengendapkan sedimen tersebut dalam perjalanannya
menuju laut. Erosi dan proses tektonik mengubah bentuk permukaan bumi dalam
waktu yang “relatif” singkat (500 juta tahu
terakhir dari 5 milyar tahun sejarah bumi).
o
Biosfer :
Pelapukan geosfer
menghasilkan tanah (soil) yang kaya akan bahan nutrisi (fosfor,
nitrogen, silikat dan mineral lainnya) bagi tumbuhan dan hewan. Melalui proses
transport oleh air, bahan tersebut juga diendapkan di laut sehingga
memungkinkan kehidupan laut/ bawah laut.
o
Antrosfer :
Manusia
mengeksploitasi sumber alam berupa mineral dan bahan bakar fosil dari geosfer.
Penggunaan bahan bakar fosil dapat meningkatkan gas CO2 di atmosfer
yang menyebabkan terjadinya efek rumah kaca dengan segala konsekuansinya
(peningkatan temperatur bumi, mencairnya kutub serta peningkatan permukaan air
laut). Efek rumah kaca akibat gas CO2 [ada tingkat yang normal
menyebabkan temperatur air rata-rata naik dari –12 0C menjadi +14 0C
sehingga layak bagi kehidupan.
1.2
Geometri
Bumi
Konsep mengenai “bentuk” bumi
Konsep bumi datar (flat) :
o
Secara
nalar sederhana (common sense) karena keterbatasan jangkauan mobilitas
manusia saat itu,
o
Timbul
pertanyaan mengenai batas, apakah bumi itu berhingga atau tak terhingga.
Masalah batas bumi terjawab dengan menganggap bumi bulat (Pythagoras
~ 450-350 SM) yang juga dapat menjelaskan beberapa fenomena empirik
berikut :
o
pindahkan
ke utara atau ke selatan diikuti oleh muncul dan menghilangnya konstelasi
bintang tertentu dari hirizon,
o
gradasi
kenampakan bagian-bagian badan kapal yang menjauhi atau mendekati pantai dari
manapun datangnya kapal,
o
bayangan
bumi yang menutup bulan saat gerhana bulan berbentuk lingkaran.
Pelayaran Columbus (~1492)
tidak dapat membuktikan bahwa bumi bulat secara langsung. Konsep bumi bulat
baru dapat dibuktikan secara langsung pada pelayaran Magellan keliling dunia
tahun 1522 (~18 abad setelah Pythagoras).
Konsep mengenai
ukuran/besarnya bumi
o
secara
kualitatif bumi tidak terlalu “besar” (berdasarkan pengamatan gerhana bulan dan
perubahan pemandangan langit akibat perjalanan beberapa ratus mil ke utara/ ke
selatan),
o
secara
kuantitatif berdasarkan eksperimen Eratoshenes (276-196 SM) dan Ptolemius (~200 M),
o
ekspedisi
Bouguer (1737) ke Peru massa
Eksperimen Erastosthenes (~200 SM)
Bayangan matahari pada tengah hari musim panas (21 Juni) jatuh tepat
di atas suatu sumur di Syene (Mesir). Pada waktu yang sama di Alexandria
Dengan asumsi bahwa kedua berkas sinar matahari tersebut sejajar,
maka dua garis radius bumi yang menghubungkan pusat bumi dengan kedua tempat
berjarak 820 km tersebut membentuk sudut 70 20’. Disimpulkan bahwa
keliling bumi (dianggap bulat, 3600) adalah 40250 km dan garis
tengahnya 12900 km. Hasil tersebut tidak terlalu jauh berbeda dengan hasil
pengamatan modern yaitu 38402 km dan 12768 km.
Gambar 1.
Konsep mengenai massa
o
menggunakan
hukum Newton
o
eksperimen
Bougner (1737) pada ekspedisi ke Peru gaya massa
o
distribusi
massa
Kedudukan bumi dalam
sistem astronomis
o
C.
Ptolemius (~200)
Konsep geosentris dan orbit lingkaran
(berdasarkan model Aristoteles mengenai jagat raya), dapat menjelaskan pergerakan
tak beraturan planet lain sebagai gabungan gerakan melingkar melalui
perhitungan yang sangat kompleks.
o
N.
Copernicus (1534)
Konsep heliosentris (sistem tata surya dengan
bumi sebagai planet) yang pernah dikemukakan oleh Aristarchus, dapat
menjelaskan pergerakan matahari, bulan, bintang dan planet (pergerakan yang
tampaknya tak beraturan dari Mars dan Benus) secara lebih sederhana, namun
tetap dengan perhitungan yang rumit karena masih digunakan asumsi bahwa bentuk
orbit adalah lingkungan, perhitungan jarak dan periode orbit tiap planet secara
relatif.
o
Galileo
(1609)
Pembuktian konsep heliosentris
berdasarkan hasil pengamatan menggunakan teleskop.
o
J. Kepler
(1609)
Hukum Kepler berdasarkan pengamatan
empiris (orbit planet = ellips, kesetaraan luas sektor dengan waktu tempuh,
perbandingan antara jarak dan periode orbit).
o
Galileo
(1632)
“Kualifikasi” relatif percepatan
benda jatuh pada interval waktu konstan :
perbandingan jarak tempuh 1 : 3 : 5 : 7
1
: 4 : 9 : 16
o
C. Huygens
(1657)
Membuat pewaktu presisi yang dapat digunakan untuk
menentukan percepatan benda jatuh = 9.8 m s-2.
o
I. Newton
Sistem pergerakan benda di jagat
raya melalui unifikasi mekanika/dinamika benda jatuh (Galileo) dan orbit planet
(Kepler).
1.3
Distribusi
Daratan dan Lautan
|
|
Luas
(106
km2)
|
Relatif
terhadap luas total darat/laut (%)
|
Relatif
terhadap luas bumi
(%)
|
Ketinggian
/ kedalaman rata-rata
(km)
|
|
Benua/daratan
-
-
Eropa
-
Afrika
-
Amerika
Utara
-
Amerika
Selatan
-
-
Antartika
|
44.8
10.4
30.6
22.0
17.9
7.8
15.6
|
29.8
7.0
20.5
14.8
12.0
5.2
10.5
|
8.7
2.1
6.0
4.3
3.5
1.5
3.1
|
|
|
Jumlah
|
148.1
|
100.0
|
29.2
|
0.875
|
|
Lautan :
-
Pasifik
-
Atlantik
-
-
Arktik
|
181.3
94.3
74.1
12.3
|
50.1
26.0
20.5
3.4
|
35.4
18.4
14.5
2.4
|
3.940
3.575
3.840
1.117
|
|
Jumlah
|
362.0
|
100.0
|
70.8
|
3.729
|
(Wyley, 1971)
Catatan :
o
Hampir 71%
permukaan bumi adalah laut,
o
Luas 3
laut utama (Pasifik, Atlantik ,
India Asia
dan Eropa digabungkan),
o
Lautan
Pasifik merupakan lebih dari 50% semua laut dan 35% seluruh permukaan bumi,
o
Lebih dari
65% daratan terdapat di belahan bumi utara (BBU ~ land hemisphere dengan kutub dekat Spanyol 00 E,
380 N dan BBS ~ ocean
hemisphere dengan kutub dekat New Zealand
1.4
Kenampakan
Fisik Permukaan Bumi
Studi mengenai relief permukaan bumi
dapat dimungkinkan berkat hasil pengukuran secara ekstensif elevasi permukaan
bumi (sejak tahun 1930-an) dan kedalaman laut (sejak tahun 1960-an). Relief
permukaan bumi (termasuk penyebaran gunung api dan gempa bumi) menggambarkan
proses-proses tektonik yang terjadi di dalam bumi.
Tabel hipsometrik permukaan bumi
|
Interval
ketinggian atau kedalaman (km)
|
Luas
|
Luas
kumulatif (lebih besar dari batas bawah interval)
|
||
|
x
106 km2
|
%
dari total
|
x
106 km2
|
%
dari total
|
|
|
Di atas muka
laut
|
|
|
|
|
|
>
5
|
0.5
|
0.1
|
0.5
|
0.1
|
|
4
– 5
|
2.2
|
0.4
|
2.7
|
0.5
|
|
3
– 4
|
5.8
|
1.1
|
8.5
|
1.6
|
|
2
– 3
|
11.2
|
2.2
|
19.7
|
3.8
|
|
1
– 2
|
22.6
|
4.5
|
42.3
|
8.3
|
|
0
– 1
|
105.6
|
20.8
|
148.1
|
29.1
|
|
Dibawah muka
laut
|
|
|
|
|
|
0
– 0.2
|
27.1
|
5.3
|
175.2
|
34.4
|
|
0.2
– 1
|
16.0
|
3.1
|
191.2
|
37.5
|
|
1
– 2
|
15.8
|
3.1
|
207.0
|
40.6
|
|
2
– 3
|
30.8
|
6.1
|
237.8
|
46.5
|
|
3
– 4
|
75.8
|
14.8
|
313.6
|
61.5
|
|
4
– 5
|
114.7
|
22.6
|
428.3
|
84.0
|
|
5
– 6
|
76.8
|
15.0
|
505.1
|
99.0
|
|
6
– 7
|
4.5
|
0.9
|
509.6
|
99.9
|
|
7
– 11
|
0.5
|
0.1
|
510.1
|
100.0
|
(Wyley, 1971)
II. GRAVITASI
2.1
Pendahuluan
o
Secara
umum terminologi gravitasi mendeskripsikan fenomena tarik-menarik antara dua massa
o
Konsep
mengenai gravitasi mulai dipikirkan oleh Isaac Newton sejak tahun 1666 (usia 24
tahun) dengan mitos “apel jatuh”-nya.
o
Konsep
mengenai gravitasi secara sistematik dikemukakan oleh Isaac Newton melalui Principia
Mathematica (1687), memadukan konsep mekanika benda jatuh (Galileo) dengan
mekanika benda planet (Kepler) :
Æ Orbit planet mengelilingi matahari berbentuk
ellips dan planet bergerak lebih cepat jika lebih dekat ke matahari (hukum Kepler)
mengindikasikan bahwa planet mengalami percepatan ke arah matahari.
Æ Proporsionalitas antara kuadrat periodia orbit
dengan pangkat tiga dari orbit rata-rata menunjukkan bahwa konstanta percepatan
sama untuk setiap planet jika berada pada jarak yang sama.
Æ Mengingat percepatan berkaitan/ditimbulkan oleh
gaya gaya gaya
Æ Gaya massa 
2.2
Hukum
Fisika Mengenai Gravitasi
Hukum Kepler
1.
Semua
planet mengelilingi matahari dengan orbit berbentuk ellips dengan matahari di
salah satu titik fokusnya ;
(2.1)
a = setengah sumbu
panjang, b = setengah sumbu pendek
2.
Garis
antara matahari dan planet menyapu sektor dengan luas yang sama persatuan waktu
:
(2.2)
3.
Kuadrat
dari periode revolusi berbanding lurus dengan perangkat 3 dari setengah jarak
sumbu panjang :
T2 = a3 (2.3)
 |
Gambar 2.
Hukum gravitasi universal (Newton
Dari hukum kepler dapat ditunjukkan bahwa suatu planet bermassa m
dan berjarak rata-rata r dari matahari mengalami suatu gaya Gaya
(2.4)
sehingga :
(2.5)
Hukum gravitasi dapat diperluas untuk sebarang massa
(2.6)
dengan konstanta gravitasi universal G = 6.67 x 10-11
m3kg-1 s-1.
Besaran vektor F dinyatakan oleh :
F12 = 
(2.7)
(2.7)
Dimana F12 adalah gaya 
adalah vektor satuan positif dari m1 ke m2.
adalah vektor satuan positif dari m1 ke m2.
Dalam koordinat kartesian jarak antara ke dua benda dinyatakan oleh
:
2.3
Percepatan
Gravitasi sebagai Medan
Percepatan gravitasi
g = 
(2.8)
(2.8)
g = percepatan gravitasi = gaya massa
Percepatan gravitasi sebagai fungsi posisi r membentuk medan gaya
Potensial gravitasi
Potensial gravitasi di titik A yang berjarak r dari benda
bermasa M didefinisikan sebagai usaha yang diperlukan untuk memindahkan
satu satuan massa medan
V = 
(2.9)
(2.9)
Menurut devinisi tersebut, gaya massa
(2.10)
Tanda negatif pada pers. (2.10) menunjukkan bahwa gaya
g = - ÑV (2.11)
dimana Ñ adalah operator gradien :
Untuk suatu massa massa
(2.12)Hukum Gauss
Persamaan yang secara umum berlaku untuk medan medan
Fluks gravitasi dN yang melalui elemen permukaan ds
adalah hasil kali vektor antara medan massa
dN = g . ds
= g ds cos
q = GM 
(2.13)
(2.13)
Sudut padat (solid angle) yang dibentuk oleh m dan ds
didefinisikan oleh :
Gambar 3.
sehingga pers. (2.13) menjadi :
dN = - GM dW
Fluks gravitasi total yang melalui permukaan tertutup S
adalah :
N = 
(2.14)
(2.14)
Tanda negatif disebabkan oleh vektor satuan normal terhadap
permukaan yang mengarah keluar permukaan tersebut.
Dengan demikian Hukum Gauss untuk medan massa
Hukum Gauss dapat digunakan untuk menentukan massa
Di samping itu, hukum Gauss dapat pula digunakan untuk menentukan medan massa
Contoh :
1.
Jika
permukaan S meliputi seluruh bumi dengan massa
(2.15)
sehingga dari kedua pers. tersebut diperoleh :
(2.16)
2.
Medan
(2.17)
3.
Dengan
cara yang sama, medan massa
(2.18)
Persamaan Laplace
Pada kasus dimana massa
(2.19)
Integral permukaan dapat diubah menjadi
volume sehingga :
Mengingat g = -ÑV maka diperoleh pers. Laplace
:
Ñ2 V = 0 (2.20)
2.4
Gravitasi
Bumi
Jika bumi diasumsikan berbentuk bola dengan rapat massa massa
Aproksimasi yang lebih realistik menyatakan bahwa bumi adalah
ellipsoid berputar dengan sumbu putar melalui kutub dengan persamaan ellips
pada bidang simetri vertikal :
(2.21)
dimana a = setengah sumbu panjang, b = setengah sumbu
pendek dan e = eliptisitas yang didefinisikan :
(2.22)
Geopotensial total pada titik P terdiri dari potensial
gravitasi akibat massa
(2.23)
Gambar 4.
Potensial rotasi berkaitan dengan gaya
Potensial gravitasi bumi
Potensial gravitasi V memenuhi persamaan Laplace
(2.18) yang dalam koordinat bola adalah :
(2.24)
Gambar 5.
Mengingat adanya simetri terhadap sumbu rotasi yang melalui kutub,
maka tidak ada variasi potensial gravitasi terhadap azimuth (j).
Dengan subsansi u = cos q maka pers. (2.24) menjadi :
(2.25)
Pers. Laplace (2.25) merupakan pers. differensial dengan solusi V
sebagai fungsi r dan u. Untuk menyelesaikan pers. tersebut
digunakan metode pemisahan variabel dengan masing-masing hanya merupakan fungsi
r dan u saja, sehingga solusi akan berbentuk :
V (r,u) = R(r) U(u) (2.26)
Substansi pers. (2.26) ke dalam pers. Laplace (2.25) menghasilkan :
atau
(2.27)
Agar pers. (2.27) berlaku, maka suku pertama dan kedua ruas kiri
harus berharga sama namun berlawanan tanda. Untuk itu diambil n(n+1)
sehingga diperoleh dua pers. differensial terpisah ;
(2.28)
(2.29)
Pers. (2.28) adalah pers. differensial
biasa yang dapat ditulis kembali sebagai :
r2 R” + 2r R’ – n(n +1) R = 0
Bentuk umum solusi pers. (2.28) adalah R = ra dan substitusinya ke dalam pers. tersebut menghasilkan pers. yang
harus dipenuhi oleh a :
a (a - 1) + 2a - n (n + 1) = 0
(a - n) (a + n
+ 1) = 0
sehingga a = n
; a = -(n + 1)
Dengan demikian solusi pers. (2.28) adalah :
R = a1 rn + a2 r-(n+1) (2.30)
Pers. (2.29) adalah pers. differensial Legendre dengan solusi
polinom Legendre U = Pn
(u) yang secara umum dinyatakan oleh formula Rodriguez :
(2.31)
Berdasarkan formula Rodriguez atau
akuivalennya (rumus rekursif) maka 5 polinom Legendre yang pertama adalah :
Dengan mengingat bahwa u = cos q, maka potensial gravitasi bumi yang memenuhi pers. Laplace adalah :
(2.32)
Koefisien atau konstanta an dan bn
dapat ditentukan dengan menerapkan syarat batas yang harus dipenuhi oleh V.
Syarat batas biasanya ditentukan oleh aspek fisis permasalahannya, diantaranya
adalah :
1.
Potensial
gravitasi pada jarak tak hingga mendekati nol sehingga hanya berlaku suku yang
mengandung fungsi r-n :
V = 
(2.33)
(2.33)
2.
Aprokasimasi
orde ke-0 menghasilkan potensial akibat bola homogen (atau heterogen secara
radial) yang identik dengan potensial titik massa
sehingga 
(2.34)
3.
Simetri terhadap
bidang yang melalui ekuator menyebabkan potensial gravitasi hanya mengandung
polinom Legendre berorde ganjil. Dengan memodifikasi 
maka diperoleh :
maka diperoleh :
(2.35)Geopotensial total
Untuk menentukan koefisien B pada pers. potensial gravitasi
(2.35) maka akan ditinjau geopotensial total di permukaan bumi ideal
(ellipsoid) yang dianggap sebagai bidang ekuipotensial.
Pendekatan orde pertama diperoleh dengan hanya memperhitungkan 2
suku pertama pers. (2.35) atau mengabaikan suku dengan n ³ 4 sehingga potensial total dinyatakan oleh :
(2.36)
Dengan memasukkan harga r dan f di ekuator (r = a, f = 00) dan di kutub (r = b, f = 900) maka diperoleh :
(2.37)
(2.38)
Pada bidang ekuipotensial maka Ue = Up
sehingga :
dimana 
Dengan asumsi bahwa eliptisitas sangat kecil atau a @ b maka berdasarkan pendekatan orde pertama potensial gravitasi
:
(2.39)Percepatan gravitasi bumi
Percepatan gravitasi diperoleh dari gradien potensial gravitasi
(pers. 92.11)). Karena adanya simetri terhadap sumbu vertikal (rotasi bumi)
maka percepatan gravitasi dapat dinyatakan dalam koordinat kutub berikut :
(2.40)
Dari pers. (2.36) komponen radial
percepatan gravitasi adalah :
(2.41)
Untuk mendapatkan pers. yang menyatakan gravitasi sebagai fungsi
sudut lintang f maka harga a/r harus dinyatakan
pula sebagai fungsi f.
Dari pers. (2.21) diperoleh :
(2.42)
Dengan menganggap denominator sama dengan satu dan dengan
mengabaikan kuantitas-kuantitas berorde lebih besar dari e maka :
(2.43)
Substitusi pers. (2.43) ke dalam pers. (2.41) dengan mengingat harga
B2 seperti pada pers. (2.39) serta kembali mengabaikan
kuantitas-kuantitas berorde lebih besar dari e maka :
(2.44)
Pada pers. (2.44) kuantitas yang tidak bergantung pada f adalah gravitasi di ekuator (r = a, f = 00). Jika gravitasi di ekuator tersebut dianggap
sebagai konstanta baru maka pers. (2.44) menjadi :
(2.45)
Pers. (2.45) adalah pers. Clairaut (1743) yang menyatakan
harga gravitasi sebagai fungsi gravitasi di ekuator dan sudut lintang f.
Pers. tersebut merupakan pendekatan orde pertama yaitu dengan hanya
memperhitungkan 2 suku pertama pers. potensial (P0 dan P2
pada pers. (2.36)) serta koefisien yang berorde e (atau m)
pada perhitungan selanjutnya.
Besaran eliptisitas e pada dasarnya sama dengan m yang
menyatakan perbandingan antara percepatan sentripetal dan percepatan gravitasi
di ekuator (e = 3.35 X 10-3
; m = 3.45 X 10-3).
Jika diperhitungkan orde yang lebih tinggi (P4 dan e2)
dengan memasukkan konstanta numerik, maka diperoleh :
(2.46)
Pers. (2.46) dikenal sebagai International Gravity Formula
1930, yang biasa digunakan untuk menghitung harga gravitasi teoritis pada
bidang referensi ellipsoid (gravitasi normal).
Perbedaan antara harga gravitasi teoritis dan gravitasi pengamatan
(anomali gravitasi) dapat digunakan untuk memperkirakan bidang potensial
(bentuk bumi) yang sebenarnya serta distribusi massa
2.5
Geoid
Adanya variasi distribusi massa
Dalam penentuan posisi secara geodetis, ketinggian suatu tempat
dinyatakan sebagai ketinggiannya terhadap geoid. Oleh karena itu perlu
diketahui penyimpangan geoid terhadap bidang ellipsoid sebagai referensi
absolut.
Geoid sebagai bidang ekuipotensial ditentukan melalui konsep anomali
potensial yang merupakan perbedaan antara potensial pada geoid dengan potensial
pada bidang ellipsoid :
(2.47)
Gambar 6.
Secara praktis geoid dapat ditentukan melalui pengukuran gravitasi
di permukaan bumi atau pengukuran permukaan laut dari satelit.
Perbedaan antara gravitasi teoritis pada bidang ellipsoid dengan
gravitasi yang terukur menyatakan anomali gravitasi yang merefleksikan
perbedaan antara geoid dengan bidang ellipsoid :
(2.48)
Dengan demikian dari “pengukuran” anomali gravitasi ga
diperoleh anomali potensial Ua yang dapat digunakan untuk
menentukan ketinggian geoid terhadap referensi ellipsoid.
Hubungan antara anomali gravitasi dengan ketinggian geoid terhadap
bidang ellipsoid diturunkan oleh Stokes (1845). Sebagai pendekatan
hubungan tersebut dapat dinyatakan oleh :
(2.49)
dimana g adalah gravitasi pada titik P dan dp adalah kontras densitas.
Pers. (2.49) hanya berlaku untuk kaus sederhana, yaitu interval
integrasi tidak terlalu besar (orde km) dan densitas hanya sedikit bervariasi
secara horisontal (panjang gelombang 100 km atau lebih).
2.6
Anomali
Gravitasi
Dalam bidang geofisika pengukuran anomali
gravitasi lebih dimaksudkan untuk mengetahui distribusi massa
Secara lebih spesifik, anomali gravitasi adalah perbedaan antara
gravitasi terukur dengan gravitasi yang seharusnya (expected) teramati
pada suatu tempat.
Harga gravitasi yang seharusnya teramati pada suatu tempat
diturunkan dari harga gravitasi teoritis pada bidang referensi (ellipsoid)
beserta koreksinya dengan asumsi-asumsi ideal. Koreksi pengamatan gravitasi
dilakukan untuk memperhitungkan efek setempat yang mempengaruhi pengamatan.
Koreksi udara bebas (free air correction)
Gravitasi pada suatu titik P dengan ketinggian tertentu
terhadap bidang ellipsoid secara teoritis dapat diperkirakan dari gravitasi
normal dan gradien gravitasi terhadap ketinggian.
Mengingat perubahan ketinggian tersebut relatif kecil terhadap
jari-jari bumi maka dapat dilakukan pendekatan berikut :
(2.50)
Dengan memasukkan harga-harga di ekuator,
maka diperoleh bahwa gravitasi sebesar 0.3086 mgal untuk setiap meter
penambahan ketinggian :
(2.51)
Dengan menerapkan koreksi udara bebas
terhadap gravitasi normal diperoleh gravitasi teoritis pada suatu ketinggian
dari bidang referensi.
Koreksi udara bebas tidak memperhitungkan adanya efek massa
 |
Gambar 7.
Koreksi Bouguer
Untuk memeperhitungkan adanya massa massa
Dalam sistem koordinat silinder, komponen vertikal gravitasi di
titik P akibat elemen massa
= 
(2.52)
Gambar 8.
Dengan memasukkan batas-batas integrasi diperoleh :
(2.53)
= 2p Gph
Dengan demikian adanya massa
(2.54)Koreksi topografi
Pengamatan gravitasi di suatu titik dipengaruhi oleh
ketidakteraturan medan massa
Ekses atau defisiensi massa
Gravitasi yang ditimbulkan oleh massa
(2.55)
dimana j adalah sudut sektor, ri
dan ro masing-masing adalah jari-jari dalam dan jari-jari
luar, dan z adalah ketinggian silinder.
 |
Gambar 9.
Anomali Bouguer
Dengan menerapkan koreksi udara bebas dan koreksi Bouguer pada gravitasi
normal maka diperoleh gravitasi teoritis (expected) pada titik
pengamatan. Gravitasi pengamatan perlu dikoreksi terhadap efek yang
mempengaruhi pengukuran diantaranya topografi, drift dan pasang-surut bumi.
Anomali Bouguer adalah selisih antara gravitasi pengamatan dengan
gravitasi teoritis :
(2.56)
Dari definisi koreksi-koreksi tersebut di
atas maka anomali Bouguer didefinisikan pada titik pengamatan gravitasi dan
tidak pada bidang referensi (ellipsoid atau permukaan laut rata-rata).
Jika harga anomali Bouguer tidak sama dengan nol, maka terdapat
penyimpangan distribusi massa
Pemodelan dan interpretasi anomali gravitasi
Anomali Bouguer sebagai fungsi posisi dapat ditetapkan atau dibuat
profilnya. Interpretasi anomali Bouguer dilakukan dengan mencari model yang
memberikan efek gravitasi paling sesuai dengan data (anomali Bouguer), baik
dengan cara coba-coba (forward modelling) atau dengan menerapkan metoda
inversi (inverse modelling).
Mengingat sifat medan
III.
GEOMAGNETISME
3.1
Pendahuluan
o
Fenomena
kemagnetan (batuan yang mengandung magnetik p menarik metal) sudah diketahui
sejak jaman Yunani kuno.
o
Penemuan
dan penggunaan kompas magnetik sebagai penunjuk arah tercatat sejak abad ke 11
M oleh orang Arab , Persia
o
William
Gilbert menerbitkan “De Magnete” tahun 1600 :
- sifat-sifat batuan dan metal magnetik,
- sifat kemagnetan bumi (dipol atau bola termagnetisasi),
- variasi arah
- pengamatan
o
Henry
Gillibrand (1635) berdasarkan hasil pengamatan sejak tahun 1600
mengidentifikasikan perubahan “arah” medan magnet bumi terhadap waktu (variasi
sekuler).
o
Perbedaan
dan persamaan fenomena gravitasi dan magnetisme :
|
|
Gravitasi
|
Magnetisme
|
|
elemen
|
|
Dipol (kutub positif dan negatif)
|
|
Sifat elemen
|
Tarik-menarik
|
 Kutub sejenis tolak-menolak Kutub lain
jenis tarik-menarik |
|
Variasi terhadap waktu
|
Kecil (akibat pasut)
|
Relatif lebih besar dan kompleks dalam
struktur frekuensi (akibat aktivitas ionik matahari)
|
|
|
Gradien potensial
|
|
o
Pengamatan
medan
§ Medan
§ Medan
§ Medan
3.2
Magnetostatika
Konsep dipol
Kutub magnetik selalu berpasangan
(positif dan negatif) sehingga diperlukan konsep dipol (dwi-kutub) untuk
menjelaskan fenomena kemagnetan Þ dipol
sebagai magnet elementer.
Untuk dipol yang dibentuk oleh kutub magnetik +m dan –m
yang terpisah sejauh d (gambar 3-1), maka potensial magnetik pada titik P
sejauh r (r<<d) dari pusat dipol tersebut adalah :
(3.1)
dimana C adalah suatu konstanta yang berharga (4p)-1 jika satuan-satuan dinyatakan dalam sistem
internasional (SI).
Gambar 3-1
Jika d ® 0 dan r
<< d maka dengan pendekatan diperoleh :
V = 
= 
(3.2)
(3.2)
Dengan demikian potensial magnetik pada titik P sejauh r
dari pusat dipol adalah :
(3.3)
dimana M = md 
Medan
(3.4a)
(3.4b)
Pers. (3.4) menunjukkan bahwa
Gambar 3-2
Medan magnet total (H) dari suatu dipol adalah resultan medan
tolakan H+ akibat kutub magnet positif +m dan medan
tarikan H- akibat kutub magnet negatif –m. Medan magnet total
tersebut dapat diuraikan dalam komponen radial Hr dan
tangensial Hq.
Untuk mendeskripsikan adanya
Garis medan medan medan
Gambar 3-3
Kuantitas dan satuan magnetostatika
o
Momen
dipol :
M = m d (Ampere.meter2) (3.5)
Momen dipol dinyatakan sebagai
momen magnetik yang ditimbulkan oleh fenomena elektromagnetik yaitu arus 1
Ampere pada loop seluas 1 meter2 (kutub magnatik m dalam
Ampere.meter).
o
Kuat
(intensitas) medan
H = -ÑV (Ampere.meter-1) (3.6)
o
Induksi
magnetik :
Jika suatu benda ditempatkan pada suatu medan medan
B = m0 (H + J)
= m H (Tesla
atau Weber.meter-2) (3.7)
dimana m0 adalah permeabilitas magnetik di ruang hampa yang berharga 4p x 10-7 Newton.Ampere-2 (atau Henry.meter-1).
o
Permeabilitas
dan Suseptibilitas magnetik :
m = m0 (1
+ 
)
)
= m0 (1 x c) (3.8)
Permeabilitas magnetik suatu medium
(m) menyatakan tingkat kemudahan medan medan
3.3
Sifat
Kemagnetan Bahan/Medium
Diamagnetik :
Kebanyakan material bersifat diamagnetik,
dimana induksi magnetik di dalam medium tersebut lebih kecil dari pada induksi
magnetik di ruang hampa (c < 0).
Contoh : graphite, gypsum, quartz, felspar, garam.
Paramagnetik :
Medium bersifat paramagnetik jika pada
saat ada medan medan
Ferromagnetik :
Medium yang bersifat ferromagnetik selain
terdapat dapat terinduksi oleh adanya medan medan
Kurva Histerisis :
Jika material bersifat ferromagnetik
ditempatkan pada pengaruh medan
1.
pada
awalnya intensitas magnetisasi (J) akan meningkat secara linier terhadap
peningkatan medan
2.
jika H
terus ditingkatkan maka J tidak lagi berbanding lurus dengan H sehingga
tidak reversible (segmen kurva PR), pada saat tercapai titik jenuh
peningkatan H tidak lagi mempengaruhi J (segmen kurva RA)
3.
jika H
diturunkan hingga sama dengan nol maka masih terdapat sisa kemagnetan remanen Jr
= OB (segmen kurva AB)
4.
untuk
menghilangkan kemagnetan remanen Jr, diperlukan medan medan
5.
peningkatan
H dengan arah berlawanan dengan medan
6.
peningkatan
kembali H dari titik D akan menghasilkan segmen kurva DEFA yang simetri
dengan segmen kurva ABCD terhadap titik O.
Kurva lengkap melintasi segmen ABCDEFA disebut kurva histeresis
yang luasnya bergantung pada energi yang diperlukan untuk satu siklus
pembalikan medan
Dalam geofisika adanya kemagnetan remanen memungkinkan pendeteksian
mineral/batuan yang bersifat magnetik untuk keperluan eksplorasi (metoda
geomagnetik). Di samping itu perbedaan arah kemagnetan batuan terhadap medan
Gambar 3-4
3.4
Medan
Representasi medan
Dalam pendekatan pertama sumber medan
Besaran yang sebenarnya terukur oleh alat ukur medan
(3.9a)
(3.9b) |
Gambar 3-5
 |
Gambar 3-6
Pada kenyataanya dipol magnetik tidak tepat berada pada sumbu putar
bumi (kutub selatan dipol ~ 790
N 700 W dan kutub utara dipol ~ 790 S 1000 E). dengan demikian vektor “medan
Deklinasi (D) adalah azimuth komponen horisontal H
terhadap utara geografis atau komponen X (+ ke timur), sedangkan
inklinasi (I) adalah sudut yang dibentuk oleh komponen horisontal H
dengan medan
Hubungan antara komponen-komponen medan
H = H cos D Y = H sin D
H = B cos I Z = B sin 1 (3.10)
B2 = H2 + Z2 = X2 + Y2 + Z2
dimana X = Bq, Z
= Br , dan untuk menyatakan besarnya medan
Beberapa besaran numerik
Harga momen magnetik (M) dipol yang mewakili medan
Harminik Sferik
Istilah harmonik sferik (spherical harmonics)
digunakan untuk merepresikan suatu fungsi harmonik pada pemrukaan berbentuk
bola (fungsi terhadap posisi/koordinat bola).
Jika sumber medan medan medan
Oleh karena itu untuk menggambarkan medan Laplace . Koefisien pers. tersebut ditentukan
(dicocokkan)dengan menggunakan hasil pengamatan komponen-komponen medan
Dalam sistem koordinat bola (r, q, c) pers. Laplace . Untuk potensial
magnetik V dituliskan sebagai berikut :
(3.11)
jika sebagai pendekatan pertama potensial magnetik dianggap simetri
terhadap sumbu putar bumi maka V tidak bervariasi terhadap meridian (l, longitude). Dengan demikian
penyelesaian pers. (3.11) identik dengan yang telah dilakukan untuk potensial
gravitasi sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :
(3.12)
dimana a adalah jari-jari bumi dan Pn (cos q) menyatakan polinom Legendre biasa sebagaimana didefinisikan oleh
pers. Rodriguez (pers. (2.31)).
Dalam hal ini faktor pengali a digunakan agar konstanta An
dan Bn berdimensi sama dengan medan medan medan 
a.
a.
Dengan demikian komponen-komponen medan
= 
(3.13)
(3.13)
Y’ = 0 (3.14)
= 
(3.16)
(3.16)
Suku dengan n = 0 menyatakan potensial akibat suatu monopol
magnetik sehingga tidak ada. Jika hanya diperhitungkan suku yang
merepresentasikan potensial akibat suatu dipol terpusat P1
(cos q) = cos q maka :
(3.17a)
Z’= (2 A1 – B1) cos q (3.17b)
Konstanta A1 dan B1 pada pers.
(3.17) dapat ditentukan berdasarkan hasil pengamatan medan
Jika tidak ada simetri terhadap sumbu putar bumi maka untuk
menyelesaikan pers. (3.11) digunakan metoda pemisahan variabel V (r, u, l) = R (r) S (u, l), dimana u = cos q.
Sebagaimana pada penyelesaian pers. Laplace
untuk potensial gravitasi, diperoleh dua pers. diferensial berikut :
(3.18)
(3.19)
Pers. (3.18) identik dengan pers. (2.28) dan solusinya adalah :
R = a1 rn + a2 r -(n
+1) (3.20)
Sehingga untuk sementara bentuk umum solusi pers. Laplace
untuk V adalah :
(3.21)
bentuk pers. (3.20) mirip dengan solusi pers. Laplace
dengan simetri pada sumbu putar bumi (pers. (3012) dan (2.32)), kecuali faktor
yang menyatakan kebergantungan terhadap l pada Sn (q, l). Solusi pers. Laplace
hingga suku ke-n disebut harmonik sferik padat (solid spherical
harmonics) dengan koefisien Sn (q, l) adalah harmonik sferik permukaan (surface
spherical harmonics) orde ke-n (menyatakan “bentuk” permukaan/fungsi
pada suatu r tertentu (konstan).
Kembali digunakan metode pemisahan variabel untuk memperoleh solusi
pers. (3.19). substitusi S (u, l) = U (u) T(l) ke dalam pers. (3.19) menghasilkan :
(3.22)
Misal :
(3.23)
maka diperoleh :
(3.24)
Solusi pers. (3.23) adalah :
T (l) = cm cos (ml) + dm atau
T (l) = em sin (ml) + fm (3.25)
Dimana cm, dm, em, fm
adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas.
Solusi pers. (3.24) adalah fungsi legendre asosiasi U = 
(u) (associated Legendre function) derajat –n
orde ke –m yang didefinisikan :
(u) (associated Legendre function) derajat –n
orde ke –m yang didefinisikan :
(3.26)
dimana Pn (u) adalah polinom Legendre biasa
seperti didefinisikan oleh pers. (2.31) dan substitusinya ke dalam pers. (3.26)
menghasilkan pers. Rodriguez untuk fungsi Legendre asosiasi :
(3.27)
Pada definisi (u) di atas telah mengandung faktor pengubah tanda
(-1)m.
(u) di atas telah mengandung faktor pengubah tanda
(-1)m.
Bentuk umum solusi persamaan Laplace
untuk potensial magnetik adalah :
(3.28)
Contoh :
1.
Zonal
Harmonics
Untuk r tetap (misalnya di permukaan bumi r = a) maka
potensial hanya ditentukan oleh fungsi harmonik sferik permukaan 
yang dalam bentuk paling sederhana dapat dituliskan :
yang dalam bentuk paling sederhana dapat dituliskan :
~ 
(3.29)
(3.29)
pada kasus dimana terdapat simtri terhadap sumbu putar dan hanya
diperhitungkan potensial akibat dipol terpusat (n = 1, m = 0)
maka V ~ cos q yang berharga nol pada q = 900 atau f = 00
(ekuator). Dengan cara yang sama dapat digambarkan zonal harmonics lainnya
(gambar 3.7).
Misal untuk n = 3 dan m = 0 maka V ~ ½ (5 cos3 q - 3 cos3
q) dengan garis nol pada q = 900,
39.230, 39.230 + 900 atau f = 00, 50.770, -40.770. Diantara
garis-garis nol tersebut V berharga positif dan negatif dengan amplitudo
sesuai konstanta yang ditentukan berdasarkan data pengamatan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar