Sabtu, 28 April 2012

Gravitasi dan Geomagnet


I. PENDAHULUAN

1.1  Studi Mengenai Bumi sebagai Suatu Sistem
Asal-usul bumi
o        Studi mengenai asal-usul bumi lebih dikaitkan dengan posisinya sebagai benda langit dan proses terbentuknya alam semesta yang dipelajari dalam kosmologi/astronomi.
o        Bumi terbentuk pada 5 milyar (5 x 109) tahun yang lalu dari proses pendinginan dan pemadatan material kosmik. Material berdensitas tinggi terutama besi (Fe) terkonsentrasi di pusat bumi dan membentuk inti bumi. Senyawa Silika (Si) dan Oksigen (O2) yang jauh lebih ringan terakumulasi di permukaan membentuk litosfer, hidrosfer dan atmosfer bumi.

Fenomena bumi

o        Kenampakan fisik permukaan bumi (distribusi benua dan lautan serta relief permukaan bumi),
o        Struktur internal bumi (distribusi sifat atau parameter fisika dan kimia, termasuk temperatur dan tekanan),
o        Medan gravitasi dan medan magnet,
o        Aspek hidrosfer dan atmosfer,
Æ  dapat dijelaskan melalui teori mengenai proses terbentuknya bumi.

Interaksi antara geosfer, atmosfer, hidrosfer, biosfer, dan antrosfer
Geosfer adalah bagian padat dari bumi yang meliputi kerak bumi (continental and eceanic crust) serta bagian dalam bumi lainnya (struktur internal, terutama mantel).
Contoh interaksi antara geosfer dengan
o        Atmosfer :
Aktivitas volkanik menghamburkan sejumlah gas (uap air, karbon dioksida, sulfur dioksida, hidrogen, hidrogen sulfida, dan lain-lain) ke atmosfer dan dapat menimbulkan perubahan cuaca/iklim. Proses tektonik terutama pembentukan bantuan karbonat ( di samping proses biologis dan pelarutan gas CO2 oleh laut) ikut menjaga kesetimbangan gas karbon dioksida di atmosfer.
o        Hidrosfer ;
Air dalam siklus hidrologi (yang juga melibatkan atmosfer) merupakan penyebab terjadinya proses erosi secara mekanik dan kimia. Air yang mengalir di permukaan batuan secara mekanik menggerus batuan dan secara kimia melarutkan senyawa-senyawa pembentuknya. Air pula yang mengendapkan sedimen tersebut dalam perjalanannya menuju laut. Erosi dan proses tektonik mengubah bentuk permukaan bumi dalam waktu yang “relatif” singkat (500 juta tahu  terakhir dari 5 milyar tahun sejarah bumi).
o        Biosfer :
Pelapukan geosfer menghasilkan tanah (soil) yang kaya akan bahan nutrisi (fosfor, nitrogen, silikat dan mineral lainnya) bagi tumbuhan dan hewan. Melalui proses transport oleh air, bahan tersebut juga diendapkan di laut sehingga memungkinkan kehidupan laut/ bawah laut.
o        Antrosfer :
Manusia mengeksploitasi sumber alam berupa mineral dan bahan bakar fosil dari geosfer. Penggunaan bahan bakar fosil dapat meningkatkan gas CO2 di atmosfer yang menyebabkan terjadinya efek rumah kaca dengan segala konsekuansinya (peningkatan temperatur bumi, mencairnya kutub serta peningkatan permukaan air laut). Efek rumah kaca akibat gas CO2 [ada tingkat yang normal menyebabkan temperatur air rata-rata naik dari –12 0C menjadi +14 0C sehingga layak bagi kehidupan.

1.2  Geometri Bumi
Konsep mengenai “bentuk” bumi
Konsep bumi datar (flat) :
o        Secara nalar sederhana (common sense) karena keterbatasan jangkauan mobilitas manusia saat itu,
o        Timbul pertanyaan mengenai batas, apakah bumi itu berhingga atau tak terhingga.
Masalah batas bumi terjawab dengan menganggap bumi bulat (Pythagoras ~ 450-350 SM) yang juga dapat menjelaskan beberapa fenomena empirik berikut :
o        pindahkan ke utara atau ke selatan diikuti oleh muncul dan menghilangnya konstelasi bintang tertentu dari hirizon,
o        gradasi kenampakan bagian-bagian badan kapal yang menjauhi atau mendekati pantai dari manapun datangnya kapal,
o        bayangan bumi yang menutup bulan saat gerhana bulan berbentuk lingkaran.
Pelayaran Columbus (~1492) tidak dapat membuktikan bahwa bumi bulat secara langsung. Konsep bumi bulat baru dapat dibuktikan secara langsung pada pelayaran Magellan keliling dunia tahun 1522 (~18 abad setelah Pythagoras).

Konsep mengenai ukuran/besarnya bumi

o        secara kualitatif bumi tidak terlalu “besar” (berdasarkan pengamatan gerhana bulan dan perubahan pemandangan langit akibat perjalanan beberapa ratus mil ke utara/ ke selatan),
o        secara kuantitatif berdasarkan eksperimen Eratoshenes (276-196 SM) dan Ptolemius (~200 M),
o        ekspedisi Bouguer (1737) ke Peru untuk mengukur panjang/jarak 10 meridian dan estimasi massa bumi.

Eksperimen Erastosthenes (~200 SM)
Bayangan matahari pada tengah hari musim panas (21 Juni) jatuh tepat di atas suatu sumur di Syene (Mesir). Pada waktu yang sama di Alexandria (820 km sebelah utara Syene), sinar matahari membentuk sudut 70 20; terhadap suatu pilar vertikal (berdasarkan bayangan pilar tersebut).
Dengan asumsi bahwa kedua berkas sinar matahari tersebut sejajar, maka dua garis radius bumi yang menghubungkan pusat bumi dengan kedua tempat berjarak 820 km tersebut membentuk sudut 70 20’. Disimpulkan bahwa keliling bumi (dianggap bulat, 3600) adalah 40250 km dan garis tengahnya 12900 km. Hasil tersebut tidak terlalu jauh berbeda dengan hasil pengamatan modern yaitu 38402 km dan 12768 km.
 








Gambar 1.

Konsep mengenai massa bumi

o        menggunakan hukum Newton mengenai gravitasi (1687),
o        eksperimen Bougner (1737) pada ekspedisi ke Peru dan eksperimen Maskelyne (1774), berdasarkan deviasi pendulum/ bandul akibat gaya tarik massa gunung,
o        distribusi massa di dalam bumi dapat diperkirakan melalui pengukuran gravitasi.

Kedudukan bumi dalam sistem astronomis

o        C. Ptolemius (~200)
Konsep geosentris dan orbit lingkaran (berdasarkan model Aristoteles mengenai jagat raya), dapat menjelaskan pergerakan tak beraturan planet lain sebagai gabungan gerakan melingkar melalui perhitungan yang sangat kompleks.
o        N. Copernicus (1534)
Konsep heliosentris (sistem tata surya dengan bumi sebagai planet) yang pernah dikemukakan oleh Aristarchus, dapat menjelaskan pergerakan matahari, bulan, bintang dan planet (pergerakan yang tampaknya tak beraturan dari Mars dan Benus) secara lebih sederhana, namun tetap dengan perhitungan yang rumit karena masih digunakan asumsi bahwa bentuk orbit adalah lingkungan, perhitungan jarak dan periode orbit tiap planet secara relatif.
o        Galileo (1609)
Pembuktian konsep heliosentris berdasarkan hasil pengamatan menggunakan teleskop.
o        J. Kepler (1609)
Hukum Kepler berdasarkan pengamatan empiris (orbit planet = ellips, kesetaraan luas sektor dengan waktu tempuh, perbandingan antara jarak dan periode orbit).
o        Galileo (1632)
“Kualifikasi” relatif percepatan benda jatuh pada interval waktu konstan :
perbandingan jarak tempuh     1 : 3 : 5 : 7
                                                1 : 4 : 9 : 16
o        C. Huygens (1657)
Membuat pewaktu presisi yang dapat digunakan untuk menentukan percepatan benda jatuh = 9.8 m s-2.
o        I. Newton (1687)
Sistem pergerakan benda di jagat raya melalui unifikasi mekanika/dinamika benda jatuh (Galileo) dan orbit planet (Kepler).

1.3  Distribusi Daratan dan Lautan

Luas
(106 km2)
Relatif terhadap luas total darat/laut (%)
Relatif terhadap luas bumi
(%)
Ketinggian / kedalaman rata-rata
(km)
Benua/daratan
-          Asia
-          Eropa
-          Afrika
-          Amerika Utara
-          Amerika Selatan
-          Australia
-          Antartika

44.8
10.4
30.6
22.0
17.9
7.8
15.6

29.8
7.0
20.5
14.8
12.0
5.2
10.5

8.7
2.1
6.0
4.3
3.5
1.5
3.1

Jumlah
148.1
100.0
29.2
0.875
Lautan :
-          Pasifik
-          Atlantik
-          India
-          Arktik

181.3
94.3
74.1
12.3

50.1
26.0
20.5
3.4

35.4
18.4
14.5
2.4

3.940
3.575
3.840
1.117
Jumlah
362.0
100.0
70.8
3.729
(Wyley, 1971)

Catatan :
o        Hampir 71% permukaan bumi adalah laut,
o        Luas 3 laut utama (Pasifik, Atlantik, India) masing-masing jauh lebih besar dari luas benua (bahkan jika Asia dan Eropa digabungkan),
o        Lautan Pasifik merupakan lebih dari 50% semua laut dan 35% seluruh permukaan bumi,
o        Lebih dari 65% daratan terdapat di belahan bumi utara (BBU ~ land hemisphere dengan kutub dekat Spanyol 00 E, 380 N dan BBS ~ ocean hemisphere dengan kutub dekat New Zealand).

1.4  Kenampakan Fisik Permukaan Bumi
Studi mengenai relief permukaan bumi dapat dimungkinkan berkat hasil pengukuran secara ekstensif elevasi permukaan bumi (sejak tahun 1930-an) dan kedalaman laut (sejak tahun 1960-an). Relief permukaan bumi (termasuk penyebaran gunung api dan gempa bumi) menggambarkan proses-proses tektonik yang terjadi di dalam bumi.


Tabel hipsometrik permukaan bumi
Interval ketinggian atau kedalaman (km)
Luas
Luas kumulatif (lebih besar dari batas bawah interval)
x 106 km2
% dari total
x 106 km2
% dari total
Di atas muka laut




> 5
0.5
0.1
0.5
0.1
4 – 5
2.2
0.4
2.7
0.5
3 – 4 
5.8
1.1
8.5
1.6
2 – 3
11.2
2.2
19.7
3.8
1 – 2
22.6
4.5
42.3
8.3
0 – 1
105.6
20.8
148.1
29.1
Dibawah muka laut




0 – 0.2
27.1
5.3
175.2
34.4
0.2 – 1
16.0
3.1
191.2
37.5
1 – 2
15.8
3.1
207.0
40.6
2 – 3
30.8
6.1
237.8
46.5
3 – 4
75.8
14.8
313.6
61.5
4 – 5
114.7
22.6
428.3
84.0
5 – 6
76.8
15.0
505.1
99.0
6 – 7
4.5
0.9
509.6
99.9
7 – 11
0.5
0.1
510.1
100.0
(Wyley, 1971)


Text Box: Elevasi (km) 


















II. GRAVITASI

2.1    Pendahuluan
o        Secara umum terminologi gravitasi mendeskripsikan fenomena tarik-menarik antara dua massa.
o        Konsep mengenai gravitasi mulai dipikirkan oleh Isaac Newton sejak tahun 1666 (usia 24 tahun) dengan mitos “apel jatuh”-nya.
o        Konsep mengenai gravitasi secara sistematik dikemukakan oleh Isaac Newton melalui Principia Mathematica (1687), memadukan konsep mekanika benda jatuh (Galileo) dengan mekanika benda planet (Kepler) :
Æ  Orbit planet mengelilingi matahari berbentuk ellips dan planet bergerak lebih cepat jika lebih dekat ke matahari (hukum Kepler) mengindikasikan bahwa planet mengalami percepatan ke arah matahari.
Æ  Proporsionalitas antara kuadrat periodia orbit dengan pangkat tiga dari orbit rata-rata menunjukkan bahwa konstanta percepatan sama untuk setiap planet jika berada pada jarak yang sama.
Æ  Mengingat percepatan berkaitan/ditimbulkan oleh gaya maka planet mengalami gaya tarikan ke arah matahari, demikian pula dengan benda yang mengalami gaya tarikan bumi sehingga jatuh.
Æ  Gaya adalah massa kali percepatan, sedangkan percepatan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak sehingga diperoleh :

2.2    Hukum Fisika Mengenai Gravitasi

Hukum Kepler

1.      Semua planet mengelilingi matahari dengan orbit berbentuk ellips dengan matahari di salah satu titik fokusnya ;
                                                                (2.1)
a = setengah sumbu panjang, b = setengah sumbu pendek

2.      Garis antara matahari dan planet menyapu sektor dengan luas yang sama persatuan waktu :
                                                                                   (2.2)

3.      Kuadrat dari periode revolusi berbanding lurus dengan perangkat 3 dari setengah jarak sumbu panjang :
T2 = a3                                                                                     (2.3)
 







Gambar 2.

Hukum gravitasi universal (Newton)
Dari hukum kepler dapat ditunjukkan bahwa suatu planet bermassa m dan berjarak rata-rata r dari matahari mengalami suatu gaya F (Howell, 1959). Gaya yang sama juga dialami oleh matahari bermassa M karena aksi = reaksi :
                                                                                   (2.4)
sehingga :
                                                                                            (2.5)
Hukum gravitasi dapat diperluas untuk sebarang massa m1 dan m2 :
                                                                                      (2.6)
dengan konstanta gravitasi universal G = 6.67 x 10-11 m3kg-1 s-1.

Besaran vektor F dinyatakan oleh :
F12 =                                                                              (2.7)
Dimana F12 adalah gaya yang dialami oleh m2 akibat m2, adalah vektor satuan positif dari m1 ke m2.
Dalam koordinat kartesian jarak antara ke dua benda dinyatakan oleh :

2.3    Percepatan Gravitasi sebagai Medan Vektor
Percepatan gravitasi
Gaya merupakan perkalian antara massa dengan percepatan (hukum ke-2 Newton), sehingga dari pers. (2.7) percepatan yang dialami oleh m2 akibat m1 adalah :
g =                                                                                                 (2.8)
g = percepatan gravitasi = gaya persatuan massa dengan satuan ms-2 atau Gal (dari Galileo). Untuk kuantitas yang lebih kecil digunakan satuan miliGal (mGal).
Percepatan gravitasi sebagai fungsi posisi r membentuk medan gaya (vektor) gravitasi.

Potensial gravitasi

Potensial gravitasi di titik A yang berjarak r dari benda bermasa M didefinisikan sebagai usaha yang diperlukan untuk memindahkan satu satuan massa dari A ke tak hingga di bawah pengaruh medan gravitasi yang ditimbulkan oleh M :
 V =                                                                           (2.9)
Menurut devinisi tersebut, gaya persatuan massa yang bekerja pada arah r positif adalah turunan potensial V terhadap r :
                                                                                       (2.10)
Tanda negatif pada pers. (2.10) menunjukkan bahwa gaya bekerja pada arah r negatif (menuju M). Secara lebih umum, percepatan gravitasi yang didefinisikan positif ke arah M dinyatakan oleh :
g = - ÑV                                                                                              (2.11)
dimana Ñ adalah operator gradien :
                                                
Untuk suatu massa sebarang maka potensial gravitasi dinyatakan oleh integral volume terhadap distribusi rapat massa :
                                                                                   (2.12)

Hukum Gauss

Persamaan yang secara umum berlaku untuk medan vektor berlaku pula untuk medan gravitasi. Salah satu diantaranya adalah hukum Gauss.
Fluks gravitasi dN yang melalui elemen permukaan ds adalah hasil kali vektor antara medan gravitasi (oleh massa M) dengan vektor normal elemen permukaan tersebut :
dN = g . ds
     = g ds cos q = GM                                                           (2.13)

Sudut padat (solid angle) yang dibentuk oleh m dan ds didefinisikan oleh :





Gambar 3.
sehingga pers. (2.13) menjadi :
dN = - GM dW
Fluks gravitasi total yang melalui permukaan tertutup S adalah :
N =                                                                         (2.14)
Tanda negatif disebabkan oleh vektor satuan normal terhadap permukaan yang mengarah keluar permukaan tersebut.
Dengan demikian Hukum Gauss untuk medan gravitasi menyatakan bahwa fluks total yang melalui suatu permukaan tertutup adalah -4pG dikalikan dengan massa yang dilingkupi permukaan tersebut.
Hukum Gauss dapat digunakan untuk menentukan massa yang terdapat dalam suatu permukaan tertutup berdasarkan harga gravitasinya di permukaan tersebut, meskipun bentuk dan ukurannya tidak diketahui.
Di samping itu, hukum Gauss dapat pula digunakan untuk menentukan medan gravitasi akibat suatu massa dengan simetri sederhana.

Contoh :
1.      Jika permukaan S meliputi seluruh bumi dengan massa M maka berdasarkan hukum Gauss berlaku pers. (2.14). Di samping itu berlaku pula :
                                                                              (2.15)
sehingga dari kedua pers. tersebut diperoleh :
                                                                                           (2.16)
2.      Medan gravitasi pada jarak r dari suatu bola bermassa M dapat ditentukan dengan membuat suatu permukaan bola berjari-jari r yang melingkupi M. Seperti pada pers. (2.15) fluks yang melalui permukaan tersebut adalah : N = -4pr2g sedangkan menurut hukum Gauss N = -4pGM sehingga :
                                                                                            (2.17)

3.      Dengan cara yang sama, medan gravitasi pada jarak r dari sumbu suatu silinder tak-hingga berjari-jari a (a < r) dengan massa jenis persatuan panjang l adalah :
                                                                                            (2.18)

Persamaan Laplace
Pada kasus dimana massa berada di luar suatu permukaan tertutup S maka fluks yang masuk sama dengan fluks yang keluar sehingga fluks totalnya sama dengan nol :
                                                                                                (2.19)
Integral permukaan dapat diubah menjadi volume sehingga :
                                                                          
Mengingat g = -ÑV maka diperoleh pers. Laplace :
Ñ2 V = 0                                                                                                    (2.20)

2.4    Gravitasi Bumi
Jika bumi diasumsikan berbentuk bola dengan rapat massa konstan atau hanya bervariasi secara radial r(r) maka potensial gravitasi dan percepatan gravitasi di permukaan bumi akan konstan dan masing-masing dinyatakan oleh pers. (2.9) dan (2.17) dengan r = jari-jari bumi dan M = massa bumi.
Aproksimasi yang lebih realistik menyatakan bahwa bumi adalah ellipsoid berputar dengan sumbu putar melalui kutub dengan persamaan ellips pada bidang simetri vertikal :
                                                              (2.21)
dimana a = setengah sumbu panjang, b = setengah sumbu pendek dan e = eliptisitas yang didefinisikan :

                                                                                            (2.22)
Geopotensial total pada titik P terdiri dari potensial gravitasi akibat massa bumi dan potensial kinetik akibat rotasi bumi :
                                                                      (2.23)




Gambar 4.

Potensial rotasi berkaitan dengan gaya sentrifugal yang merupakan fungsi titik jaraknya terhadap sumbu rotasi.

Potensial gravitasi bumi

Potensial gravitasi V memenuhi persamaan Laplace (2.18) yang dalam koordinat bola adalah :
         (2.24)









Gambar 5.
Mengingat adanya simetri terhadap sumbu rotasi yang melalui kutub, maka tidak ada variasi potensial gravitasi terhadap azimuth (j).
Dengan subsansi u = cos q maka pers. (2.24) menjadi :
                                                  (2.25)
Pers. Laplace (2.25) merupakan pers. differensial dengan solusi V sebagai fungsi r dan u. Untuk menyelesaikan pers. tersebut digunakan metode pemisahan variabel dengan masing-masing hanya merupakan fungsi r dan u saja, sehingga solusi akan berbentuk :
V (r,u) = R(r) U(u)                                                                              (2.26)
Substansi pers. (2.26) ke dalam pers. Laplace (2.25) menghasilkan :
                                                     
atau
                                                   (2.27)

Agar pers. (2.27) berlaku, maka suku pertama dan kedua ruas kiri harus berharga sama namun berlawanan tanda. Untuk itu diambil n(n+1) sehingga diperoleh dua pers. differensial terpisah ;
                                                                   (2.28)
                                                          (2.29)
Pers. (2.28) adalah pers. differensial biasa yang dapat ditulis kembali sebagai :
r2 R” + 2r R’ – n(n +1) R = 0                                                           

Bentuk umum solusi pers. (2.28) adalah R = ra dan substitusinya ke dalam pers. tersebut menghasilkan pers. yang harus dipenuhi oleh a :
a (a - 1) + 2a - n (n + 1) = 0
           (a - n) (a + n + 1) = 0
sehingga a = n ; a = -(n + 1)
Dengan demikian solusi pers. (2.28) adalah :
R = a1 rn + a2 r-(n+1)                                                                             (2.30)
Pers. (2.29) adalah pers. differensial Legendre dengan solusi polinom Legendre    U = Pn (u) yang secara umum dinyatakan oleh formula Rodriguez :
                                                                (2.31)
Berdasarkan formula Rodriguez atau akuivalennya (rumus rekursif) maka 5 polinom Legendre yang pertama adalah :
Dengan mengingat bahwa u = cos q, maka potensial gravitasi bumi yang memenuhi pers. Laplace adalah :
                                                    (2.32)
Koefisien atau konstanta an dan n dapat ditentukan dengan menerapkan syarat batas yang harus dipenuhi oleh V. Syarat batas biasanya ditentukan oleh aspek fisis permasalahannya, diantaranya adalah :
1.      Potensial gravitasi pada jarak tak hingga mendekati nol sehingga hanya berlaku suku yang mengandung fungsi r-n :
  V =                                                               (2.33)
2.      Aprokasimasi orde ke-0 menghasilkan potensial akibat bola homogen (atau heterogen secara radial) yang identik dengan potensial titik massa :
 sehingga                                           (2.34)
3.      Simetri terhadap bidang yang melalui ekuator menyebabkan potensial gravitasi hanya mengandung polinom Legendre berorde ganjil. Dengan memodifikasi  maka diperoleh :
                             (2.35)

Geopotensial total

Untuk menentukan koefisien B pada pers. potensial gravitasi (2.35) maka akan ditinjau geopotensial total di permukaan bumi ideal (ellipsoid) yang dianggap sebagai bidang ekuipotensial.
Pendekatan orde pertama diperoleh dengan hanya memperhitungkan 2 suku pertama pers. (2.35) atau mengabaikan suku dengan n ³ 4 sehingga potensial total dinyatakan oleh :
                        (2.36)
Dengan memasukkan harga r dan f di ekuator (r = a, f = 00) dan di kutub            (r = b, f = 900) maka diperoleh :
                                                                   (2.37)
                                                               (2.38)
Pada bidang ekuipotensial maka Ue = Up sehingga :
      dimana
Dengan asumsi bahwa eliptisitas sangat kecil atau a @ b maka berdasarkan pendekatan orde pertama potensial gravitasi :
                                                                                        (2.39)

Percepatan gravitasi bumi

Percepatan gravitasi diperoleh dari gradien potensial gravitasi (pers. 92.11)). Karena adanya simetri terhadap sumbu vertikal (rotasi bumi) maka percepatan gravitasi dapat dinyatakan dalam koordinat kutub berikut :
                                                                           (2.40)
Dari pers. (2.36) komponen radial percepatan gravitasi adalah :
                    (2.41)
Untuk mendapatkan pers. yang menyatakan gravitasi sebagai fungsi sudut lintang f maka harga a/r harus dinyatakan pula sebagai fungsi f.
Dari pers. (2.21) diperoleh :
                                                    (2.42)
Dengan menganggap denominator sama dengan satu dan dengan mengabaikan kuantitas-kuantitas berorde lebih besar dari e maka :
                                                                   (2.43)
Substitusi pers. (2.43) ke dalam pers. (2.41) dengan mengingat harga B2 seperti pada pers. (2.39) serta kembali mengabaikan kuantitas-kuantitas berorde lebih besar dari e maka :
                                             (2.44)
Pada pers. (2.44) kuantitas yang tidak bergantung pada f adalah gravitasi di ekuator (r = a, f = 00). Jika gravitasi di ekuator tersebut dianggap sebagai konstanta baru maka pers. (2.44) menjadi :
                                                               (2.45)
Pers. (2.45) adalah pers. Clairaut (1743) yang menyatakan harga gravitasi sebagai fungsi gravitasi di ekuator dan sudut lintang f.
Pers. tersebut merupakan pendekatan orde pertama yaitu dengan hanya memperhitungkan 2 suku pertama pers. potensial (P0 dan P2 pada pers. (2.36)) serta koefisien yang berorde e (atau m) pada perhitungan selanjutnya.
Besaran eliptisitas e pada dasarnya sama dengan m yang menyatakan perbandingan antara percepatan sentripetal dan percepatan gravitasi di ekuator    (e = 3.35 X 10-3 ; m = 3.45 X 10-3).
Jika diperhitungkan orde yang lebih tinggi (P4 dan e2) dengan memasukkan konstanta numerik, maka diperoleh :
          (2.46)
Pers. (2.46) dikenal sebagai International Gravity Formula 1930, yang biasa digunakan untuk menghitung harga gravitasi teoritis pada bidang referensi ellipsoid (gravitasi normal).
Perbedaan antara harga gravitasi teoritis dan gravitasi pengamatan (anomali gravitasi) dapat digunakan untuk memperkirakan bidang potensial (bentuk bumi) yang sebenarnya serta distribusi massa dalam bumi

2.5    Geoid
Adanya variasi distribusi massa dalam bumi maka bidang ellipsoid bukan merupakan bidang ekuipotensial. Bidang ekuipotensial sebenarnya disebut geoid yang secara praktis digambarkan oleh permukaan laut rata-rata.
Dalam penentuan posisi secara geodetis, ketinggian suatu tempat dinyatakan sebagai ketinggiannya terhadap geoid. Oleh karena itu perlu diketahui penyimpangan geoid terhadap bidang ellipsoid sebagai referensi absolut.
Geoid sebagai bidang ekuipotensial ditentukan melalui konsep anomali potensial yang merupakan perbedaan antara potensial pada geoid dengan potensial pada bidang ellipsoid :
                                                                                      (2.47)

 








Gambar 6.
Secara praktis geoid dapat ditentukan melalui pengukuran gravitasi di permukaan bumi atau pengukuran permukaan laut dari satelit.
Perbedaan antara gravitasi teoritis pada bidang ellipsoid dengan gravitasi yang terukur menyatakan anomali gravitasi yang merefleksikan perbedaan antara geoid dengan bidang ellipsoid :
                                                                                       (2.48)
Dengan demikian dari “pengukuran” anomali gravitasi ga diperoleh anomali potensial Ua yang dapat digunakan untuk menentukan ketinggian geoid terhadap referensi ellipsoid.
Hubungan antara anomali gravitasi dengan ketinggian geoid terhadap bidang ellipsoid diturunkan oleh Stokes (1845). Sebagai pendekatan hubungan tersebut dapat dinyatakan oleh :
                                                                              (2.49)
dimana g adalah gravitasi pada titik P dan dp adalah kontras densitas.
Pers. (2.49) hanya berlaku untuk kaus sederhana, yaitu interval integrasi tidak terlalu besar (orde km) dan densitas hanya sedikit bervariasi secara horisontal (panjang gelombang 100 km atau lebih).


2.6    Anomali Gravitasi
Dalam bidang geofisika pengukuran anomali gravitasi lebih dimaksudkan untuk mengetahui distribusi massa dalam bumi (bukan untuk menentukan geoid).
Secara lebih spesifik, anomali gravitasi adalah perbedaan antara gravitasi terukur dengan gravitasi yang seharusnya (expected) teramati pada suatu tempat.
Harga gravitasi yang seharusnya teramati pada suatu tempat diturunkan dari harga gravitasi teoritis pada bidang referensi (ellipsoid) beserta koreksinya dengan asumsi-asumsi ideal. Koreksi pengamatan gravitasi dilakukan untuk memperhitungkan efek setempat yang mempengaruhi pengamatan.

Koreksi udara bebas (free air correction)
Gravitasi pada suatu titik P dengan ketinggian tertentu terhadap bidang ellipsoid secara teoritis dapat diperkirakan dari gravitasi normal dan gradien gravitasi terhadap ketinggian.
Mengingat perubahan ketinggian tersebut relatif kecil terhadap jari-jari bumi maka dapat dilakukan pendekatan berikut :
                                                                          (2.50)
Dengan memasukkan harga-harga di ekuator, maka diperoleh bahwa gravitasi sebesar 0.3086 mgal untuk setiap meter penambahan ketinggian :
                                                                     (2.51)
Dengan menerapkan koreksi udara bebas terhadap gravitasi normal diperoleh gravitasi teoritis pada suatu ketinggian dari bidang referensi.
Koreksi udara bebas tidak memperhitungkan adanya efek massa batuan yang terdapat di antara bidang referensi dengan bidang di mana terdapat titik P.

 







Gambar 7.

Koreksi Bouguer

Untuk memeperhitungkan adanya massa batuan yang menyebabkan penambahan gravitasi, massa tersebut dianggap berupa silinder tak hingga (Bouguer slab) dengan ketinggian h.
Dalam sistem koordinat silinder, komponen vertikal gravitasi di titik P akibat elemen massa dM adalah :
                    =                                                      (2.52)










Gambar 8.

Dengan memasukkan batas-batas integrasi diperoleh :
                                                        (2.53)
      = 2p Gph
Dengan demikian adanya massa batuan dengan densitas p dan ketebalah h (meter) menyebabkan gravitasi teoritis :
                                                                      (2.54)

Koreksi topografi

Pengamatan gravitasi di suatu titik dipengaruhi oleh ketidakteraturan medan (topografi) yang menyebabkan kelabihan (ekses) atau kekurangan (defesiensi) massa diantara bidang yang melalui titik pengamatan dengan permukaan topografi.
Ekses atau defisiensi massa menimbulkan gravitasi komponen vertikal dengan arah negatif (mengurangi gravitasi pengamatan). Dengan demikian koreksi tomografi selalu ditambahkan pada harga gravitasi hasil pengukuran.
Gravitasi yang ditimbulkan oleh massa tersebut dihitung dengan pers. (2.53) yang telah disesuaikan batas integrasinya. Biasanya digunakan pola silinder konsentris yang dibagi dalam beberapa sektor dan harga koreksinya dijumlahkan. Sebagai contoh, gravitasi yang ditimbulkan oleh sektor silinder seperti pada gambar 8 adalah :
                                   (2.55)
dimana j adalah sudut sektor, ri dan ro masing-masing adalah jari-jari dalam dan jari-jari luar, dan z adalah ketinggian silinder.
 




Gambar 9.

Anomali Bouguer

Dengan menerapkan koreksi udara bebas dan koreksi Bouguer pada gravitasi normal maka diperoleh gravitasi teoritis (expected) pada titik pengamatan. Gravitasi pengamatan perlu dikoreksi terhadap efek yang mempengaruhi pengukuran diantaranya topografi, drift dan pasang-surut bumi.
Anomali Bouguer adalah selisih antara gravitasi pengamatan dengan gravitasi teoritis :
                                (2.56)
Dari definisi koreksi-koreksi tersebut di atas maka anomali Bouguer didefinisikan pada titik pengamatan gravitasi dan tidak pada bidang referensi (ellipsoid atau permukaan laut rata-rata).
Jika harga anomali Bouguer tidak sama dengan nol, maka terdapat penyimpangan distribusi massa permukaan dari keadaan ideal yang diramalkan oleh teori.

Pemodelan dan interpretasi anomali gravitasi

Anomali Bouguer sebagai fungsi posisi dapat ditetapkan atau dibuat profilnya. Interpretasi anomali Bouguer dilakukan dengan mencari model yang memberikan efek gravitasi paling sesuai dengan data (anomali Bouguer), baik dengan cara coba-coba (forward modelling) atau dengan menerapkan metoda inversi (inverse modelling).
Mengingat sifat medan potensial, maka terdapat tak hingga kombinasi parameter model yang dapat memberikan efek gravitasi yang sama (ambiguitas). Oleh karena itu diperlukan informasi tambahan (konstrain atau kendala) yang dapat mengurangi sifat ambiguitas interpretasi gravitasi. Informasi tambahan tersebut dapat berupa data geofisika lainnya (geolistik, magnetik, seismik dsb) maupun data geologi.


III.   GEOMAGNETISME

3.1    Pendahuluan
o        Fenomena kemagnetan (batuan yang mengandung magnetik p menarik metal) sudah diketahui sejak jaman Yunani kuno.
o        Penemuan dan penggunaan kompas magnetik sebagai penunjuk arah tercatat sejak abad ke 11 M oleh orang Arab, Persia dan Cina. Kompas magnetik digunakan secara luas pada pelayaran orang Eropa menjelajahi dunia abad ke 14.
o        William Gilbert menerbitkan “De Magnete” tahun 1600 :
  1. sifat-sifat batuan dan metal magnetik,
  2. sifat kemagnetan bumi (dipol atau bola termagnetisasi),
  3. variasi arah medan magnet bumi terhadap posisi,
  4. pengamatan medan magnet bumi secara sistematis.
o        Henry Gillibrand (1635) berdasarkan hasil pengamatan sejak tahun 1600 mengidentifikasikan perubahan “arah” medan magnet bumi terhadap waktu (variasi sekuler).
o        Perbedaan dan persamaan fenomena gravitasi dan magnetisme :

Gravitasi
Magnetisme
elemen
Massa (positif)
Dipol (kutub positif dan negatif)
Sifat elemen
Tarik-menarik
Kutub sejenis       tolak-menolak
Kutub lain jenis       tarik-menarik
Variasi terhadap waktu
Kecil (akibat pasut)
Relatif lebih besar dan kompleks dalam struktur frekuensi (akibat aktivitas ionik matahari)
medan
Gradien potensial

o        Pengamatan medan megnet bumi dapat digunakan untuk keperluan perkiraan struktur geologi/eksplorasi dan studi geodinamika :
§  Medan magnet statik                          Þ geomagnetisme
§  Medan magnet transien                       Þ elektromagnetisme
§  Medan magnet purba/fossil                 Þ paleomagnetisme
                                                                
3.2    Magnetostatika

Konsep dipol

Kutub magnetik selalu berpasangan (positif dan negatif) sehingga diperlukan konsep dipol (dwi-kutub) untuk menjelaskan fenomena kemagnetan Þ dipol sebagai magnet elementer.
Untuk dipol yang dibentuk oleh kutub magnetik +m dan –m yang terpisah sejauh d (gambar 3-1), maka potensial magnetik pada titik P sejauh r (r<<d) dari pusat dipol tersebut adalah :
                                                                                (3.1)
dimana C adalah suatu konstanta yang berharga (4p)-1 jika satuan-satuan dinyatakan dalam sistem internasional (SI).

 








Gambar 3-1

Jika d ® 0 dan r << d maka dengan pendekatan diperoleh :
V =

  =                                                   (3.2)

Dengan demikian potensial magnetik pada titik P sejauh r dari pusat dipol adalah :
                                                                         (3.3)
dimana M = md

Medan dipol

Medan magnetik adalah gradien potensial magnetik, sehingga komponen radial dan tangensial medan magnetik dipol yang diperoleh dari pers. (3.3) adalah sebagai berikut (gambar 3-2) :
                                                                       (3.4a)
                                                                        (3.4b)
Pers. (3.4) menunjukkan bahwa medan magnet total H ~r-3 dan bergantung pula pada orientasi titik P terhadap dipol, besarnya komponen vertikal 2 x lipat komponen horisontal.











Gambar 3-2
Medan magnet total (H) dari suatu dipol adalah resultan medan tolakan H+ akibat kutub magnet positif +m dan medan tarikan H- akibat kutub magnet negatif –m. Medan magnet total tersebut dapat diuraikan dalam komponen radial Hr dan tangensial Hq.
Untuk mendeskripsikan adanya medan magnet di sekitar suatu sumber magnet (dipol) digunakan konsep garis gaya (lines of force)  Þ terminologi yang lebih tepat adalah garis medan (field lines). Garis medan didefinisikan sebagai pola yang diikuti oleh sejumlah jarum kompas kecil (dipol) yang dapat berputar pada sumbunya secara bebas di sekitar sumber medan magnet (gambar 3-3).
Garis medan berawal dari kutub positif menuju kutub negatif magnetik. Kerapatan garis medan merupakan fungsi dari kuat medan magnet.










Gambar 3-3

Kuantitas dan satuan magnetostatika

o        Momen dipol :
 M = m d (Ampere.meter2)                                                      (3.5)
Momen dipol dinyatakan sebagai momen magnetik yang ditimbulkan oleh fenomena elektromagnetik yaitu arus 1 Ampere pada loop seluas 1 meter2 (kutub magnatik m dalam Ampere.meter).

o        Kuat (intensitas) medan magnet :
H = -ÑV (Ampere.meter-1)                                                      (3.6)
o        Induksi magnetik :
Jika suatu benda ditempatkan pada suatu medan magnet luar H maka jumlah garis medan di dalam benda tersebut bergantung H dan intensitas magnetisasi (J) yang timbul di dalam benda tersebut.
B = m0 (H + J)
   = m H            (Tesla atau Weber.meter-2)                              (3.7)
dimana m0 adalah permeabilitas magnetik di ruang hampa yang berharga 4p x 10-7 Newton.Ampere-2 (atau Henry.meter-1).

o        Permeabilitas dan Suseptibilitas magnetik :
m = m0 (1 + )
   = m0 (1 x c)                                                                           (3.8)
Permeabilitas magnetik suatu medium (m) menyatakan tingkat kemudahan medan magnetik melalui medium tersebut, sedangkan suseptibilitas magnetik (c) menyatakan tingkat kemudahan medium tersebut termagnetisasi jika ada medan luar.

3.3    Sifat Kemagnetan Bahan/Medium
Diamagnetik :
Kebanyakan material bersifat diamagnetik, dimana induksi magnetik di dalam medium tersebut lebih kecil dari pada induksi magnetik di ruang hampa (c < 0). Contoh : graphite, gypsum, quartz, felspar, garam.

Paramagnetik :
Medium bersifat paramagnetik jika pada saat ada medan magnet luar terdapat akumulasi garis medan dalam medium tersebut (c > 0). Contoh : pyrite, muscovite, amphibole, biotite, siderite, pyroxene.
Ferromagnetik :
Medium yang bersifat ferromagnetik selain terdapat dapat terinduksi oleh adanya medan magnet luar (c >> 0), juga terdapat sisa sifat kemagnetan setelah medan magnet luar tidak ada lagi. Contoh : hematite, pyrrhotite, ilmenite, magnetite, Fe serta mineral dengan komposisi peralihan yang disebut titano-magnetite.

Kurva Histerisis :
Jika material bersifat ferromagnetik ditempatkan pada pengaruh medan magnet luas (H) yang berubah maka :
1.      pada awalnya intensitas magnetisasi (J) akan meningkat secara linier terhadap peningkatan medan magnet dan keadaan tersebut masih bersifat reversible (segmen kurva OP, gambar 3-4)
2.      jika H terus ditingkatkan maka J tidak lagi berbanding lurus dengan H sehingga tidak reversible (segmen kurva PR), pada saat tercapai titik jenuh peningkatan H tidak lagi mempengaruhi J (segmen kurva RA)
3.      jika H diturunkan hingga sama dengan nol maka masih terdapat sisa kemagnetan remanen Jr = OB (segmen kurva AB)
4.      untuk menghilangkan kemagnetan remanen Jr, diperlukan medan koersif Hc = OC yang berlawanan dengan arah medan semula (segmen kurva BC)
5.      peningkatan H dengan arah berlawanan dengan medan semula akan menghasilkan segmen kurva CD yang kurang lebih identik dengan segmen kurva OPRA
6.      peningkatan kembali H dari titik D akan menghasilkan segmen kurva DEFA yang simetri dengan segmen kurva ABCD terhadap titik O.

Kurva lengkap melintasi segmen ABCDEFA disebut kurva histeresis yang luasnya bergantung pada energi yang diperlukan untuk satu siklus pembalikan medan magnet.
Dalam geofisika adanya kemagnetan remanen memungkinkan pendeteksian mineral/batuan yang bersifat magnetik untuk keperluan eksplorasi (metoda geomagnetik). Di samping itu perbedaan arah kemagnetan batuan terhadap medan magnet bumi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan posisi formasi batuan tersebut dari saat pembentukannya (pembuktian teori tektonik lempeng menggunakan data paleomagnetik).
 












Gambar 3-4

3.4    Medan Magnet Bumi
Representasi medan magnet bumi oleh dipol
Medan magnet bumi terutama bersumber pada aktivitas inti bumi yang bervariasi secara spasial maupun temporal (teori dinamo dan magnetohidrodinamika). Sumber lain yang mempengaruhi variasi medan magnet bumi adalah litosfer (terutama variasi spasial) dan ionosfer (terutama variasi temporal).
Dalam pendekatan pertama sumber medan magnet bumi dianggap sebagai suatu dipol magnetik terpusat yang berimpit dengan sumbu putar bumi (kutub utara dipol = kutub selatan geografis dan sebaliknya, gambar 3-5)
Besaran yang sebenarnya terukur oleh alat ukur medan magnet (magnetometer) adalah induksi magnetik yang dianggap pada ruang hampa B = m0 H sehingga :

                                                                               (3.9a)
                                                                                 (3.9b)
 









Gambar 3-5
 











Gambar 3-6
Pada kenyataanya dipol magnetik tidak tepat berada pada sumbu putar bumi (kutub selatan dipol ~ 790 N 700 W dan kutub utara dipol ~ 790 S 1000 E). dengan demikian vektor “medan” magnet total B dapat diuraikan menjadi komponen horisontal X (+ ke utara mengikuti garis meridian), komponen horisontal Y 9+ ke timur mengikuti garis lintang) dan komponen vertikal Z (+ ke bawah).
Deklinasi (D) adalah azimuth komponen horisontal H terhadap utara geografis atau komponen X (+ ke timur), sedangkan inklinasi (I) adalah sudut yang dibentuk oleh komponen horisontal H dengan medan total B (+ ke bawah).
Hubungan antara komponen-komponen medan magnet adalah sebagai berikut :
H = H cos D Y = H sin D
H = B cos I    Z = B sin 1                                                                 (3.10)
B2 = H2 + Z2 = X2 + Y2 + Z2                                                             

dimana X = Bq, Z = Br , dan untuk menyatakan besarnya medan magnet di suatu titik di permukaan bumi diperlukan minimal 3 elemen yaitu : (H, D, I); (H, D, Z) atau (X, Y, Z).

Beberapa besaran numerik
Harga momen magnetik (M) dipol yang mewakili medan magnet bumi adalah 7.95 x 1022 A.m2. Dengan menganggap jari-jari bumi rata-rata adalah sekitar 6.365 x 106 m maka medan magnet total di ekuator dan di kutub masing-masing adalah sekitar 30000 – 40000 dan 60000 – 70000 nanoTesla (1 T = 109 nT atau gamma).

Harminik Sferik

Istilah harmonik sferik (spherical harmonics) digunakan untuk merepresikan suatu fungsi harmonik pada pemrukaan berbentuk bola (fungsi terhadap posisi/koordinat bola).
Jika sumber medan magnet bumi adalah dipol berpusat yang berimpit dengan sumbu putar bumi maka besarnya medan magnet pada tiap titik di permukaan bumi dapat dihitung dari pers. (3.9). Namun kenyataannya sumbu dipol tidak tepat berada pada sumbu putar bumi. Di samping itu medan magnet bumi juga bersumber dari luar bumi (meskipun hanya sebagian kecil) sehingga terdapat komponen non-dipol.
Oleh karena itu untuk menggambarkan medan magnet bumi diperlukan representasi matematis potensial magnetik V yang memenuhi pers. Laplace. Koefisien pers. tersebut ditentukan (dicocokkan)dengan menggunakan hasil pengamatan komponen-komponen medan magnet bumi (B) mengingat besaran tersebut dapat diamati/diukur.
Dalam sistem koordinat bola (r, q, c) pers. Laplace. Untuk potensial magnetik V dituliskan sebagai berikut :
                     (3.11)
jika sebagai pendekatan pertama potensial magnetik dianggap simetri terhadap sumbu putar bumi maka V tidak bervariasi terhadap meridian (l, longitude). Dengan demikian penyelesaian pers. (3.11) identik dengan yang telah dilakukan untuk potensial gravitasi sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :
                                         (3.12)
dimana a adalah jari-jari bumi dan Pn (cos q) menyatakan polinom Legendre biasa sebagaimana didefinisikan oleh pers. Rodriguez (pers. (2.31)).

Dalam hal ini faktor pengali a digunakan agar konstanta An dan Bn berdimensi sama dengan medan magnet H (atau B jika dikalikan dengan m0). Suku dengan r pangkat negatif (dengan koefisien An) menyatakan potensial medan magnet internal yang berharga nol di tak-hingga. Suku dengan r pangkat positif (dengan koefisien Bn) merepresentasikan potensial akibat sumber medan magnet yang berasal dari luar bumi (eksternal) yang tetap berhingga untuk r  a.
Dengan demikian komponen-komponen medan magnet di permukaan bumi dapat ditulis sebagai berikut (dengan faktor m0 tidak dituliskan, X = m0 X’) :
                    =                                                  (3.13)
Y’ = 0                                                                                                              (3.14)

                    =                                             (3.16)

Suku dengan n = 0 menyatakan potensial akibat suatu monopol magnetik sehingga tidak ada. Jika hanya diperhitungkan suku yang merepresentasikan potensial akibat suatu dipol terpusat P1 (cos q) = cos q maka :
                                                                (3.17a)
Z’= (2 A1 – B1) cos q                                                               (3.17b)

Konstanta A1 dan B1 pada pers. (3.17) dapat ditentukan berdasarkan hasil pengamatan medan magnetik komponen X (utara) dan komponen Z (vertikal) pada beberapa tempat dengan lintang (f = 900 - l) yang berbeda (pencocokkan secara kuadrat terkecil). Cara yang sama juga diterapkan untuk menentukan konstanta-konstanta An dan Bn dari suku-suku potensial non-dipol (n > 1). Potensial yang hanya merupakan fungsi lintang melalui fungsi Pn (cos q) dikatakan sebagai zonal harmonics.

Jika tidak ada simetri terhadap sumbu putar bumi maka untuk menyelesaikan pers. (3.11) digunakan metoda pemisahan variabel V (r, u, l) = R (r) S (u, l), dimana u = cos q.

Sebagaimana pada penyelesaian pers. Laplace untuk potensial gravitasi, diperoleh dua pers. diferensial berikut :
                                                                   (3.18)
                            (3.19)

Pers. (3.18) identik dengan pers. (2.28) dan solusinya adalah :
R = a1 rn + a2 r -(n +1)                                                                           (3.20)
Sehingga untuk sementara bentuk umum solusi pers. Laplace untuk V adalah :
                                                      (3.21)

bentuk pers. (3.20) mirip dengan solusi pers. Laplace dengan simetri pada sumbu putar bumi (pers. (3012) dan (2.32)), kecuali faktor yang menyatakan kebergantungan terhadap l pada Sn (q, l). Solusi pers. Laplace hingga suku ke-n disebut harmonik sferik padat (solid spherical harmonics) dengan koefisien Sn (q, l) adalah harmonik sferik permukaan (surface spherical harmonics) orde ke-n (menyatakan “bentuk” permukaan/fungsi pada suatu r tertentu (konstan).
Kembali digunakan metode pemisahan variabel untuk memperoleh solusi pers. (3.19). substitusi S (u, l) = U (u) T(l) ke dalam pers. (3.19) menghasilkan :
                         (3.22)
Misal :
                                                                                     (3.23)
maka diperoleh :
                                                (3.24)
Solusi pers. (3.23) adalah :
T (l) = cm cos (ml) + dm atau
T (l) = em­ sin (ml) + fm                                                                       (3.25)
Dimana cm, dm, em, fm adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas.
Solusi pers. (3.24) adalah fungsi legendre asosiasi U =  (u) (associated Legendre function) derajat –n orde ke –m yang didefinisikan :
                                                           (3.26)
dimana Pn (u) adalah polinom Legendre biasa seperti didefinisikan oleh pers. (2.31) dan substitusinya ke dalam pers. (3.26) menghasilkan pers. Rodriguez untuk fungsi Legendre asosiasi :
                                           (3.27)
Pada definisi (u) di atas telah mengandung faktor pengubah tanda (-1)m.
Bentuk umum solusi persamaan Laplace untuk potensial magnetik adalah :
                                     (3.28)

Contoh :
1.      Zonal Harmonics
Untuk r tetap (misalnya di permukaan bumi r = a) maka potensial hanya ditentukan oleh fungsi harmonik sferik permukaan yang dalam bentuk paling sederhana dapat dituliskan :
         ~                                               (3.29)
pada kasus dimana terdapat simtri terhadap sumbu putar dan hanya diperhitungkan potensial akibat dipol terpusat (n = 1, m = 0) maka V  ~ cos q yang berharga nol pada q = 900 atau f = 00 (ekuator). Dengan cara yang sama dapat digambarkan zonal harmonics lainnya (gambar 3.7).

Misal untuk n = 3 dan m = 0 maka V ~ ½ (5 cos3 q - 3 cos3 q) dengan garis nol pada q = 900, 39.230, 39.230 + 900 atau f = 00, 50.770, -40.770. Diantara garis-garis nol tersebut V berharga positif dan negatif dengan amplitudo sesuai konstanta yang ditentukan berdasarkan data pengamatan.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar